Calcule os determinantes
(c) (1 ponto) |llllll1 & 1 & 1 & 8 & 9 & 9 9 & 0 & 1 & 0 & 8 & 7 8 & 0 & 0 & 1 & 0 & 8 7 & 0 & 0 & 0 & 0 & 6 6 & 0 & 7 & 0 & 7 & 5 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1|

Passo 1

O enunciado pede para calcular o determinante da matriz 6times6
A = 1 & 1 & 1 & 8 & 9 & 9 9 & 0 & 1 & 0 & 8 & 7 8 & 0 & 0 & 1 & 0 & 8 7 & 0 & 0 & 0 & 0 & 6 6 & 0 & 7 & 0 & 7 & 5 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1
O conteúdo aqui é determinante de matriz; vamos usar expansão de Laplace explorando as linhas (ou colunas) com muitos zeros.

Passo 2

Expandimos det(A) pela sexta linha, pois só existe um elemento não nulo nela, A6,6=1. Logo,
det(A) = (-1)^6+6,A6,6,det(M) = 1cdot1cdotdet(M) =det(M),
onde M é a matriz 5times5 obtida removendo a linha 6 e a coluna 6:
M = 1 & 1 & 1 & 8 & 9 9 & 0 & 1 & 0 & 8 8 & 0 & 0 & 1 & 0 7 & 0 & 0 & 0 & 0 6 & 0 & 7 & 0 & 7

Passo 3

Na matriz M, a segunda coluna tem apenas M1,2=1 diferente de zero. Expandindo por essa coluna,
det(M) = (-1)^1+2,M1,2,det(N) = -1cdot1cdotdet(N) =-det(N),
onde N é o menor 4times4 obtido retirando linha 1 e coluna 2 de M:
N = 9 & 1 & 0 & 8 8 & 0 & 1 & 0 7 & 0 & 0 & 0 6 & 7 & 0 & 7

Passo 4

Na matriz N, a terceira linha é (7,0,0,0), só o primeiro elemento é não nulo. Expandindo por essa linha,
det(N) = (-1)^3+1,7,det(P) = +7,det(P),
onde P é o menor 3times3 removendo a linha 3 e a coluna 1 de N:
P = 1 & 0 & 8 0 & 1 & 0 7 & 0 & 7

Passo 5

Calculamos det(P) diretamente. Usando a regra de Sarrus ou expansão pela segunda linha (que tem dois zeros),
det(P) = 1cdotdet!1 & 00 & 7 +8cdotdet!0 & 17 & 0 =1cdot(1cdot7-0cdot0) +8cdot(0cdot0-1cdot7) =7-56 =-49

Passo 6

Agora juntamos tudo:
det(N)=7cdot(-49)=-343, det(M)=-det(N)=343, det(A)=det(M)=343

Resposta

343

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