Calcule a DFT de N pontos dos seguintes sinais, validos para 0< \mathrm{n}< N-1
x(n)=\left(-\frac{1}{3}\right)^{n} (\mathrm{~N}=6)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a DFT de N pontos do sinal dado com N=6. As informações relevantes são:
  • O sinal é x(n)=\left(-\frac{1}{3}\right)^{n}.
  • O comprimento da DFT é N=6, isto é, queremos X(k) para k=0,1,2,3,4,5.
  • Assumimos que a sequência é definida nos índices \,n=0,1,2,3,4,5 (valores usuais para a DFT de N pontos).

Passo 2

Vamos escrever a fórmula que usamos (sem resolver ainda). A definição do N-point DFT que vamos aplicar é
X(k)=\sum_{n=0}^{N-1} x(n)\,e^{-j\frac{2\pi}{N}kn},
onde:
  • X(k) é a DFT no índice k (com k=0,1,\dots,N-1);
  • x(n) é a sequência no tempo (aqui x(n)=\left(-\frac{1}{3}\right)^n);
  • j é a unidade imaginária ( j^2=-1);
  • e^{-j\frac{2\pi}{N}kn} é o fator complexo que combina frequência k com tempo n.

Passo 3

Substituímos N=6 e x(n)=a^n com a=-\tfrac{1}{3}. Então
X(k)=\sum_{n=0}^{5} \left(a\,e^{-j\frac{2\pi}{6}k}\right)^{n}.
Para simplificar, defina r=a\,e^{-j\frac{2\pi}{6}k}. A soma fica
X(k)=\sum_{n=0}^{5} r^{n}.
Isto é uma soma geométrica de razão r. A fórmula da soma geométrica finita (importante relembrar) é: para r\neq 1,
\sum_{n=0}^{M-1} r^{n}=\frac{1-r^{M}}{1-r}.
Aqui temos M=6, portanto
X(k)=\frac{1-r^{6}}{1-r}.

Passo 4

Agora calculemos r^{6}. Como r=a\,e^{-j\frac{2\pi}{6}k},
r^{6}=a^{6}\,e^{-j\frac{2\pi}{6}k\cdot 6}=a^{6}\,e^{-j2\pi k}=a^{6}\cdot 1=a^{6}.
Calculamos a^{6} com a=-\tfrac{1}{3}:
a^{6}=\left(-\tfrac{1}{3}\right)^{6}=\frac{1}{3^{6}}=\frac{1}{729}.
Logo o numerador da soma geométrica é
1-r^{6}=1-\frac{1}{729}=\frac{728}{729}.

Passo 5

O denominador é 1-r=1-a\,e^{-j\frac{2\pi}{6}k}. Substituindo a=-\tfrac{1}{3} obtemos
1-r=1- \left(-\tfrac{1}{3}\right)e^{-j\frac{2\pi}{6}k}=1+\tfrac{1}{3}e^{-j\frac{2\pi}{6}k}.
Portanto, a expressão geral para X(k) é
X(k)=\frac{\dfrac{728}{729}}{\,1+\dfrac{1}{3}e^{-j\frac{2\pi}{6}k}\,}.
Multiplicando numerador e denominador por 3 (para tirar a fração do denominador) fica mais cômodo:
X(k)=\frac{728}{729}\cdot\frac{3}{\,3+e^{-j\frac{2\pi}{6}k}\,}=\frac{728}{243}\cdot\frac{1}{\,3+e^{-j\frac{2\pi}{6}k}\,}.
Essa é uma forma compacta e correta. Agora vamos calcular os valores explícitos para cada k.

Passo 6

Vamos usar os valores conhecidos das exponenciais para N=6:
\begin{aligned} e^{-j\frac{2\pi}{6}\cdot 0}&=1,\\\ e^{-j\frac{2\pi}{6}\cdot 1}&=e^{-j\frac{\pi}{3}}=\tfrac{1}{2}-j\tfrac{\sqrt{3}}{2},\\\ e^{-j\frac{2\pi}{6}\cdot 2}&=e^{-j\frac{2\pi}{3}}=-\tfrac{1}{2}-j\tfrac{\sqrt{3}}{2},\\\ e^{-j\frac{2\pi}{6}\cdot 3}&=e^{-j\pi}=-1,\\\ e^{-j\frac{2\pi}{6}\cdot 4}&=e^{-j\frac{4\pi}{3}}=-\tfrac{1}{2}+j\tfrac{\sqrt{3}}{2},\\\ e^{-j\frac{2\pi}{6}\cdot 5}&=e^{-j\frac{5\pi}{3}}=\tfrac{1}{2}+j\tfrac{\sqrt{3}}{2}. \end{aligned}
Substituímos cada um desses em X(k)=\dfrac{728}{243}\dfrac{1}{3+e^{-j\frac{2\pi}{6}k}} e simplificamos fazendo a racionalização quando necessário.

Passo 7

Cálculos детalhados para cada k:
  • Para k=0:
3+e^{-j0}=3+1=4,\qquad X(0)=\frac{728}{243}\cdot\frac{1}{4}=\frac{182}{243}.
  • Para k=1:
3+e^{-j\frac{\pi}{3}}=3+\left(\tfrac{1}{2}-j\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right)=\tfrac{7}{2}-j\tfrac{\sqrt{3}}{2}.
Multiplicando numerador e denominador por 2 e racionalizando:
X(1)=\frac{1456}{243}\cdot\frac{1}{7-j\sqrt{3}}=\frac{1456}{243}\cdot\frac{7+j\sqrt{3}}{7^{2}+(\sqrt{3})^{2}}=\frac{1456}{243}\cdot\frac{7+j\sqrt{3}}{52}.
Como \tfrac{1456}{52}=28, obtemos
X(1)=\frac{28}{243}\bigl(7+j\sqrt{3}\bigr)=\frac{196}{243}+j\frac{28\sqrt{3}}{243}.
  • Para k=2:
3+e^{-j\frac{2\pi}{3}}=3+\left(-\tfrac{1}{2}-j\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right)=\tfrac{5}{2}-j\tfrac{\sqrt{3}}{2}.
Analogamente:
X(2)=\frac{1456}{243}\cdot\frac{1}{5-j\sqrt{3}}=\frac{1456}{243}\cdot\frac{5+j\sqrt{3}}{28}=\frac{52}{243}\bigl(5+j\sqrt{3}\bigr)=\frac{260}{243}+j\frac{52\sqrt{3}}{243}.
  • Para k=3:
3+e^{-j\pi}=3+(-1)=2,\qquad X(3)=\frac{728}{243}\cdot\frac{1}{2}=\frac{364}{243}.
  • Para k=4:
3+e^{-j\frac{4\pi}{3}}=3+\left(-\tfrac{1}{2}+j\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right)=\tfrac{5}{2}+j\tfrac{\sqrt{3}}{2}.
Isso é conjugado do caso k=2, portanto
X(4)=\frac{52}{243}\bigl(5-j\sqrt{3}\bigr)=\frac{260}{243}-j\frac{52\sqrt{3}}{243}.
  • Para k=5:
3+e^{-j\frac{5\pi}{3}}=3+\left(\tfrac{1}{2}+j\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right)=\tfrac{7}{2}+j\tfrac{\sqrt{3}}{2},
conjugado do caso k=1, logo
X(5)=\frac{28}{243}\bigl(7-j\sqrt{3}\bigr)=\frac{196}{243}-j\frac{28\sqrt{3}}{243}.

Resposta

X(0)=\dfrac{182}{243}
X(1)=\dfrac{196}{243}+j\dfrac{28\sqrt{3}}{243}
X(2)=\dfrac{260}{243}+j\dfrac{52\sqrt{3}}{243}
X(3)=\dfrac{364}{243}
X(4)=\dfrac{260}{243}-j\dfrac{52\sqrt{3}}{243}
X(5)=\dfrac{196}{243}-j\dfrac{28\sqrt{3}}{243}

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