Calcule a DFT de N pontos dos seguintes sinais, validos para
Passo 1
O enunciado pede para calcular a DFT de
pontos do sinal dado com
. As informações relevantes são:
- O sinal é
. - O comprimento da DFT é
, isto é, queremos para . - Assumimos que a sequência é definida nos índices
(valores usuais para a DFT de pontos).
Passo 2
Vamos escrever a fórmula que usamos (sem resolver ainda). A definição do
-point DFT que vamos aplicar é
onde:
-
é a DFT no índice (com ); -
é a sequência no tempo (aqui ); -
é a unidade imaginária ( ); -
é o fator complexo que combina frequência com tempo .
Passo 3
Substituímos
e
com
. Então
Para simplificar, defina
. A soma fica
Isto é uma soma geométrica de razão
. A fórmula da soma geométrica finita (importante relembrar) é: para
,
Aqui temos
, portanto
Passo 4
Agora calculemos
. Como
,
Calculamos
com
:
Logo o numerador da soma geométrica é
Passo 5
O denominador é
. Substituindo
obtemos
Portanto, a expressão geral para
é
Multiplicando numerador e denominador por
(para tirar a fração do denominador) fica mais cômodo:
Essa é uma forma compacta e correta. Agora vamos calcular os valores explícitos para cada
.
Passo 6
Vamos usar os valores conhecidos das exponenciais para
:
Substituímos cada um desses em
e simplificamos fazendo a racionalização quando necessário.
Passo 7
Cálculos детalhados para cada
:
- Para
:
- Para
:
Multiplicando numerador e denominador por
e racionalizando:
Como
, obtemos
- Para
:
Analogamente:
- Para
:
- Para
:
Isso é conjugado do caso
, portanto
- Para
:
conjugado do caso
, logo