Como se pode recuperar a função periódica no tempo f_{T}(t), (síntese) a partir dos coeficiente F(n) de sua Série de Fourier?

Passo 1

O que o enunciado pede: recuperar (síntese) a função periódica no tempo f_{T}(t) a partir dos coeficientes F(n) da sua Série de Fourier.
Informações dadas e as que assumimos (tudo explícito):
  • Temos os coeficientes complexos da Série de Fourier, denotados por F(n) para todo inteiro n.
  • A função é periódica de período T.
  • Queremos uma fórmula que construa (recupere) f_{T}(t) no tempo usando esses F(n).
  • Não foi dada uma convenção estranha, então usaremos a convenção usual em que o coeficiente F(n) é obtido por integração sobre um período com fator 1/T.

Passo 2

Ideia principal da síntese (explicação conceitual leve): a Série de Fourier escreve a função periódica como soma de harmônicos complexos e^{j n \omega_{0} t} ponderados pelos coeficientes F(n). A síntese é justamente somar esses harmônicos com seus pesos para voltar à função no tempo. A frequência angular fundamental vale
\omega_{0}=\frac{2\pi}{T}.
A fórmula de síntese, em forma compacta de exponenciais complexas, é
f_{T}(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} F(n)\,e^{j n \omega_{0} t}.
Agora vou explicar o que cada símbolo significa:
  • f_{T}(t): a função periódica que queremos recuperar, dependente do tempo t.
  • F(n): coeficiente complexo da Série de Fourier correspondente ao harmônico inteiro n. Representa a “quantidade” do exponencial e^{j n \omega_0 t} presente em f_T.
  • e^{j n \omega_{0} t}: exponencial complexa do n-ésimo harmônico; gera oscilações com frequência n vezes a fundamental.
  • A soma é sobre todos os inteiros n, positivos, negativos e zero.

Passo 3

Por que essa soma recupera a função (justificativa usando ortogonalidade, passo-a-passo didático): existe uma propriedade básica de ortogonalidade dos exponenciais complexos num intervalo de comprimento T\). Considere a integral sobre um período (escolha qualquer \(t_{0}\)): \[\frac{1}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T} e^{j n \omega_{0} t}\,e^{-j m \omega_{0} t}\,dt =\frac{1}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T} e^{j (n-m)\omega_{0} t}\,dt.
Calcule essa integral: se n=m então o integrando é 1 e a integral dá 1. Se n\neq m então a integral de uma exponencial complexa completa números inteiros de ciclos e dá 0. Ou seja,
\frac{1}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T} e^{j (n-m)\omega_{0} t}\,dt = \begin{cases} 1,& n=m,\\[4pt] 0,& n\neq m. \end{cases}
Essa é a ortogonalidade que permite isolar cada coeficiente F(n)\] quando projetamos \(f_T sobre cada exponencial.]

Passo 4

Derivação da fórmula dos coeficientes (análise) para mostrar consistência com a síntese: suponha que a função possa ser escrita por
f_{T}(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} F(n)\,e^{j n \omega_{0} t}.
Para extrair F(k) multiplica-se ambos os lados por e^{-j k \omega_{0} t} e integra-se sobre um período, usando a ortogonalidade:
\frac{1}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T} f_{T}(t)\,e^{-j k \omega_{0} t}\,dt =\frac{1}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}\sum_{n=-\infty}^{\infty} F(n)\,e^{j (n-k)\omega_{0} t}\,dt.
Trocando soma e integral (condições usuais de convergência) e aplicando a ortogonalidade, todas as parcelas com n\neq k desaparecem, restando apenas F(k). Logo a fórmula de análise é
F(k)=\frac{1}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T} f_{T}(t)\,e^{-j k \omega_{0} t}\,dt.
Comentário prático: t_{0} é arbitrário (qualquer janela de comprimento T serve). Essa é a razão pela qual a síntese e a análise são consistentes entre si.

Passo 5

Forma real (trigonométrica) — quando f_{T}(t) é real: se a função no tempo é real, os coeficientes satisfazem a simetria conjugada F(-n)=\overline{F(n)}. É útil escrever a síntese em termos de cossenos e senos. Partindo da síntese complexa,
f_{T}(t)=F(0)+\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(F(n)e^{j n \omega_{0} t}+F(-n)e^{-j n \omega_{0} t}\bigr).
Usando F(-n)=\overline{F(n)} e desenvolvendo as partes real e imaginária, obtemos a forma
f_{T}(t)=F(0)+\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(2\Re\{F(n)\}\cos(n\omega_{0} t)-2\Im\{F(n)\}\sin(n\omega_{0} t)\bigr),
onde \Re\{\cdot\} e \Im\{\cdot\} são parte real e imaginária. Interpretando: cada harmônico n contribui com um termo cosseno e um seno com amplitudes relacionadas às partes real e imaginária de F(n).

Passo 6

Observações sobre convergência e valores nos pontos de descontinuidade (praticidade para prova):
  • Se f_{T}(t) satisfaz condições razoáveis (por exemplo, é peça‑wise contínua e tem número finito de máximos/minimos e descontinuidades por período — condições de Dirichlet), a série converge para \frac{f_{T}(t^+)+f_{T}(t^-)}{2} nos pontos de descontinuidade e para f_{T}(t) nos pontos de continuidade.
  • Em provas, normalmente basta apresentar a fórmula de síntese e a relação de análise; se pedirem convergência, mencionam-se as condições de Dirichlet como suficiente.

Passo 7

Exemplo rápido e intuitivo (pra fixar): suponha que só existam os coeficientes F(1)=F(-1)=\tfrac{1}{2} e todos os outros sejam zero. Pela síntese,
f_{T}(t)=\frac{1}{2}e^{j\omega_{0} t}+\frac{1}{2}e^{-j\omega_{0} t}=\cos(\omega_{0} t).
Ou seja, coeficientes iguais em n=\pm 1 com valor \tfrac{1}{2} geram um cosseno do primeiro harmônico.

Resposta

f_{T}(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} F(n)\,e^{j n \omega_{0} t},\quad\text{com }\omega_{0}=\frac{2\pi}{T}.
\text{(Se }f_{T}\text{ é real) } \; f_{T}(t)=F(0)+\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(2\Re\{F(n)\}\cos(n\omega_{0} t)-2\Im\{F(n)\}\sin(n\omega_{0} t)\bigr).é

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