Calcule a DFT de N pontos dos seguintes sinais, validos para
Passo 1
O enunciado dá a sequência de comprimento
presumivelmente com índices
. A tarefa é calcular a DFT de
pontos desta sequência, ou seja obter
para
. As informações relevantes são portanto: os valores de
e o valor de
.
Passo 2
Vou lembrar a definição da DFT que usaremos (isso é importante para a prova). A DFT de
pontos de uma sequência
é definida por
Explicando cada coisa:
-
é o valor da sequência no instante . -
é o número de pontos da DFT (aqui ). -
é o índice da frequência discreta para a qual queremos . -
é o chamado “twiddle factor”, uma raiz da unidade complexa que gira no plano complexo quando variam e .
Na prova, memorize essa fórmula e aplique somandovezes esses fatores complexos para cada .
Passo 3
Para
podemos calcular explicitamente os valores de
para
. São úteis as seguintes avaliações (coisas que caem muito em prova):
Esses quatro números formam os valores para um incremento de
no ângulo. Em cada
os expoentes serão múltiplos desses, mas para
as potências já são exatamente os quatro valores acima, e para outros
há combinações (por exemplo para
usamos
).
Passo 4
Calcule
aplicando a definição com
:
Ou seja
é só a soma dos termos da sequência:
Interpretação rápida:
é a componente de média (DC); como a sequência alterna, a média é zero.
Passo 5
Calcule
com
. Usamos os fatores para
que já listamos:
Substituindo
e os valores dos expoentes:
Calcule passo a passo:
então
Passo 6
Calcule
com
. Note que para
o fator vira
. Assim
Compute termo a termo:
Somando:
Isso mostra que toda a energia da sequência está na frequência correspondente a
(que para
é a frequência
, ou seja alternância por amostra).
Passo 7
Calcule
com
. Podemos usar que
para sequências reais é o complexo conjugado de
neste caso, mas vamos calcular explicitamente para treinar o passo a passo:
Usando
, e
dados:
Calcule:
então
Confirma a simetria esperada:
como
.
Passo 8
Resumo das contas: obtivemos
Interpretação curta: a sequência alternante tem toda a componente espectral em
(frequência
), o que faz sentido pois a sequência muda sinal a cada amostra.