Calcule a DFT de N pontos dos seguintes sinais, validos para 0< \mathrm{n}< N-1
x(n)=\{1,-1,1,-1\} (\mathrm{N}=4)

Passo 1

O enunciado dá a sequência de comprimento N=4
x(n)=\{1,\,-1,\,1,\,-1\},
presumivelmente com índices n=0,1,2,3. A tarefa é calcular a DFT de N pontos desta sequência, ou seja obter X(k) para k=0,1,2,3. As informações relevantes são portanto: os valores de x(n) e o valor de N.

Passo 2

Vou lembrar a definição da DFT que usaremos (isso é importante para a prova). A DFT de N pontos de uma sequência x(n) é definida por
X(k)=\sum_{n=0}^{N-1} x(n)\,e^{-j\frac{2\pi}{N}kn},\qquad k=0,1,\dots,N-1.
Explicando cada coisa:
  • x(n) é o valor da sequência no instante n.
  • N é o número de pontos da DFT (aqui N=4).
  • k é o índice da frequência discreta para a qual queremos X(k).
  • e^{-j\frac{2\pi}{N}kn} é o chamado “twiddle factor”, uma raiz da unidade complexa que gira no plano complexo quando variam k e n.
    Na prova, memorize essa fórmula e aplique somando x(n) vezes esses fatores complexos para cada k.

Passo 3

Para N=4 podemos calcular explicitamente os valores de e^{-j\frac{2\pi}{4}kn}=e^{-j\frac{\pi}{2}kn} para n=0,1,2,3. São úteis as seguintes avaliações (coisas que caem muito em prova):
e^{-j0}=1,\qquad e^{-j\frac{\pi}{2}}=-j,\qquad e^{-j\pi}=-1,\qquad e^{-j\frac{3\pi}{2}}=j.
Esses quatro números formam os valores para um incremento de \frac{\pi}{2} no ângulo. Em cada k os expoentes serão múltiplos desses, mas para k=1 as potências já são exatamente os quatro valores acima, e para outros k há combinações (por exemplo para k=2 usamos e^{-j\pi n}=(-1)^n).

Passo 4

Calcule X(0) aplicando a definição com k=0:
X(0)=\sum_{n=0}^{3} x(n)\,e^{-j\frac{2\pi}{4}0\cdot n}=\sum_{n=0}^{3} x(n)\cdot 1.
Ou seja X(0) é só a soma dos termos da sequência:
X(0)=1+(-1)+1+(-1)=0.
Interpretação rápida: X(0) é a componente de média (DC); como a sequência alterna, a média é zero.

Passo 5

Calcule X(1) com k=1. Usamos os fatores para n=0,1,2,3 que já listamos:
X(1)=\sum_{n=0}^{3} x(n)\,e^{-j\frac{\pi}{2}n} = x(0)\cdot 1 + x(1)\cdot e^{-j\frac{\pi}{2}} + x(2)\cdot e^{-j\pi} + x(3)\cdot e^{-j\frac{3\pi}{2}}.
Substituindo x(0)=1,\;x(1)=-1,\;x(2)=1,\;x(3)=-1 e os valores dos expoentes:
X(1)=1 + (-1)\cdot(-j) + 1\cdot(-1) + (-1)\cdot j.
Calcule passo a passo:
(-1)\cdot(-j)=+j,\qquad (-1)\cdot j=-j,
então
X(1)=1 + j -1 - j = 0.

Passo 6

Calcule X(2) com k=2. Note que para k=2 o fator vira e^{-j\frac{2\pi}{4}2n}=e^{-j\pi n}=(-1)^n. Assim
X(2)=\sum_{n=0}^{3} x(n)\,(-1)^n.
Compute termo a termo:
n=0:\;x(0)(-1)^0=1\cdot 1=1,
n=1:\;x(1)(-1)^1=(-1)\cdot(-1)=1,
n=2:\;x(2)(-1)^2=1\cdot 1=1,
n=3:\;x(3)(-1)^3=(-1)\cdot(-1)=1.
Somando:
X(2)=1+1+1+1=4.
Isso mostra que toda a energia da sequência está na frequência correspondente a k=2 (que para N=4 é a frequência \pi, ou seja alternância por amostra).

Passo 7

Calcule X(3) com k=3. Podemos usar que X(3) para sequências reais é o complexo conjugado de X(1) neste caso, mas vamos calcular explicitamente para treinar o passo a passo:
X(3)=\sum_{n=0}^{3} x(n)\,e^{-j\frac{2\pi}{4}3n} = x(0)\cdot 1 + x(1)\cdot e^{-j\frac{3\pi}{2}} + x(2)\cdot e^{-j3\pi} + x(3)\cdot e^{-j\frac{9\pi}{2}}.
Usando e^{-j\frac{3\pi}{2}}=j,\;e^{-j3\pi}=e^{-j\pi}=-1,\;e^{-j\frac{9\pi}{2}}=-j, e x(n) dados:
X(3)=1 + (-1)\cdot j + 1\cdot(-1) + (-1)\cdot(-j).
Calcule:
(-1)\cdot j=-j,\qquad (-1)\cdot(-j)=+j,
então
X(3)=1 - j -1 + j = 0.
Confirma a simetria esperada: X(3)=0 como X(1)=0.

Passo 8

Resumo das contas: obtivemos
X(0)=0,\quad X(1)=0,\quad X(2)=4,\quad X(3)=0.
Interpretação curta: a sequência alternante tem toda a componente espectral em k=2 (frequência \pi), o que faz sentido pois a sequência muda sinal a cada amostra.

Resposta

\{0,\,0,\,4,\,0\}

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