Calcule a DFT de N pontos dos seguintes sinais, validos para 0< \mathrm{n}< N-1
x(n)=\delta(n)

Passo 1

O enunciado pede que você calcule a DFT de N pontos do sinal dado. As informações relevantes são:
  • O sinal é x(n)=\delta(n).
  • Entendemos que o sinal está definido nos índices \,n=0,1,\dots,N-1 (padrão em DFT de N pontos).
  • A tarefa é encontrar X(k), a DFT de x(n), para k=0,1,\dots,N-1.

Passo 2

Vamos escrever a definição da DFT de N pontos e explicar o que cada símbolo significa.
A definição é:
X(k)=\sum_{n=0}^{N-1} x(n)\,e^{-j\frac{2\pi}{N}kn},
onde:
  • X(k) é a componente frequência discreta para o índice k;
  • x(n) é o sinal no tempo discreto (aqui x(n)=\delta(n));
  • j é a unidade imaginária ( j^2=-1);
  • \frac{2\pi}{N}k n é o argumento do exponencial complexo que varre as N frequências discretas;
  • a soma é sobre n=0,1,\dots,N-1.

Passo 3

Agora explico o que é a delta de Kronecker e uma propriedade importante que vamos usar na soma.
A delta discreta \delta(n)\) é definida por: \[\delta(n)=\begin{cases}1, & n=0,\\[4pt] 0, & n\neq 0.\end{cases}
Uma propriedade prática dela em somas é que, para qualquer sequência a(n)\], \[\sum_{n=0}^{N-1} a(n)\,\delta(n)=a(0).\] Ou seja, a delta "seleciona" o valor em \(n=0.]

Passo 4

Substituímos x(n)=\delta(n) na definição da DFT:
X(k)=\sum_{n=0}^{N-1} \delta(n)\,e^{-j\frac{2\pi}{N}kn}.
Pelo passo anterior, essa soma colapsa para o termo n=0:
X(k)=e^{-j\frac{2\pi}{N}k\cdot 0}=e^{0}=1.
Portanto obtemos X(k)=1 para todo k.

Passo 5

Interpretação e consequência prática (útil na prova): a DFT de um impulso no tempo é uma sequência constante no domínio da frequência. Isso significa que todas as frequências têm a mesma contribuição — intuitivamente, o impulso contém todas as frequências com igual peso.

Passo 6

Exemplo numérico rápido para fixar: para N=4,
X(0)=\sum_{n=0}^{3}\delta(n)e^{-j\frac{2\pi}{4}0n}=1,
X(1)=\sum_{n=0}^{3}\delta(n)e^{-j\frac{2\pi}{4}1n}=1,
X(2)=1,\quad X(3)=1.
Logo o vetor DFT é [1,1,1,1] (ou seja, 1 em cada componente).

Passo 7

Breve observação extra (útil na hora da prova): memorize este resultado — é um dos “clássicos” e aparece muito em questões rápidas. Se ver \delta(n), imediatamente pense em X(k)=1. Isso economiza tempo e evita cálculos desnecessários.

Resposta

X(k)=1,\;k=0,1,\dots,N-1

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