Calcule a DFT de N pontos dos seguintes sinais, validos para
Passo 1
O enunciado pede que você calcule a DFT de
pontos do sinal dado. As informações relevantes são:
- O sinal é
. - Entendemos que o sinal está definido nos índices
(padrão em DFT de pontos). - A tarefa é encontrar
, a DFT de , para .
Passo 2
Vamos escrever a definição da DFT de
pontos e explicar o que cada símbolo significa.
A definição é:
A definição é:
onde:
-
é a componente frequência discreta para o índice ; -
é o sinal no tempo discreto (aqui ); -
é a unidade imaginária ( ); -
é o argumento do exponencial complexo que varre as frequências discretas; - a soma é sobre
.
Passo 3
Agora explico o que é a delta de Kronecker e uma propriedade importante que vamos usar na soma.
A delta discreta
Uma propriedade prática dela em somas é que, para qualquer sequência
.]
Passo 4
Substituímos
na definição da DFT:
Pelo passo anterior, essa soma colapsa para o termo
:
Portanto obtemos
para todo
.
Passo 5
Interpretação e consequência prática (útil na prova): a DFT de um impulso no tempo é uma sequência constante no domínio da frequência. Isso significa que todas as frequências têm a mesma contribuição — intuitivamente, o impulso contém todas as frequências com igual peso.
Passo 6
Exemplo numérico rápido para fixar: para
,
Logo o vetor DFT é
(ou seja,
em cada componente).
Passo 7
Breve observação extra (útil na hora da prova): memorize este resultado — é um dos “clássicos” e aparece muito em questões rápidas. Se ver
, imediatamente pense em
. Isso economiza tempo e evita cálculos desnecessários.