Calcule a DFT de N pontos dos seguintes sinais, validos para 0< \mathrm{n}< N-1
x(n)=\{1,-1,1,-1,1,-1,1,-1\} (\mathrm{N}=8)

Passo 1

O enunciado fornece o sinal de comprimento N=8
x(n)=\{1,-1,1,-1,1,-1,1,-1\}
e pede: calcular a DFT de N pontos desse sinal (ou seja, obter X(k) para k=0,1,\dots,7). Informações relevantes: N=8 e os valores de x(n) para n=0,1,\dots,7. A resolução começa a seguir.

Passo 2

Vamos escrever a definição da DFT de N pontos e explicar cada símbolo. A DFT é dada por
X(k)=\sum_{n=0}^{N-1} x(n)\,e^{-j\frac{2\pi}{N}kn},
onde:
\;X(k) é a transformada discreta no índice \;k,
\;x(n) é a sequência no tempo no índice \;n,
\;N é o número de pontos (aqui \;N=8),
\;j é a unidade imaginária ( j^2=-1),
e \;k=0,1,\dots,N-1. Essa fórmula soma as contribuições de cada amostra x(n) ponderadas por complexas exponenciais de frequência.

Passo 3

Primeira observação sobre o sinal: os termos alternam sinal, então podemos escrever
x(n)=(-1)^n.
Agora usamos a identidade entre (-1)^n e uma exponencial complexa:
(-1)^n = e^{j\pi n}.
Isso é verdade porque e^{j\pi}=-1 e, elevando à potência n, obtemos (e^{j\pi})^n=e^{j\pi n}=(-1)^n.

Passo 4

Substituímos x(n)=e^{j\pi n} na fórmula da DFT com N=8:
X(k)=\sum_{n=0}^{7} e^{j\pi n}\,e^{-j\frac{2\pi}{8}kn}.
Agrupando os expoentes:
X(k)=\sum_{n=0}^{7} e^{-j2\pi n\left(\frac{k}{8}-\frac{1}{2}\right)}.
Para simplificar, definimos a razão complexa
r = e^{-j2\pi\left(\frac{k}{8}-\frac{1}{2}\right)} = e^{-j\frac{2\pi}{8}(k-4)}.
Assim
X(k)=\sum_{n=0}^{7} r^{\,n}.

Passo 5

Agora usamos a soma de uma progressão geométrica complexa. Para |r|\neq 0 vale a fórmula
\sum_{n=0}^{N-1} r^{n} = \frac{1-r^{N}}{1-r}.
Aqui N=8. Observe que
r^{8} = \left(e^{-j\frac{2\pi}{8}(k-4)}\right)^{8} = e^{-j2\pi(k-4)} = 1
porque k é inteiro. Então o numerador 1-r^{8}=0. Se r\neq 1 então a soma é zero. Se r=1 a fórmula acima tem divisão por zero, mas nesse caso cada termo da soma é 1 e a soma vale 8.

Passo 6

Determine quando r=1. Temos r=1 quando o expoente é múltiplo de 2\pi, ou seja quando
\frac{k}{8}-\frac{1}{2} \in \mathbb{Z}
o que equivale a
k-4 \equiv 0 \pmod{8}.
No intervalo k=0,1,\dots,7 isso ocorre apenas para k=4. Portanto:
  • para k\neq 4 temos r\neq 1 e, como r^{8}=1, a soma \sum_{n=0}^{7} r^{n}=0.
  • para k=4 temos r=1 e então \sum_{n=0}^{7} r^{n}=\sum_{n=0}^{7}1 = 8.

Passo 7

Conclusão lógica: a DFT do sinal é nula em todas as frequências exceto em k=4\), onde concentra toda a energia. Em fórmulas: \[X(k)=\begin{cases} 8, & k=4,\\[4pt] 0, & k\in\{0,1,2,3,5,6,7\}. \end{cases}
Isso faz sentido fisicamente porque x(n)=(-1)^n\] é uma exponencial discreta na frequência correspondente a meio do ciclo por amostra, que no DFT de tamanho \(8 corresponde exatamente à bin k=4.]

Passo 8

(se quiser checar um caso rápido) Por exemplo, para k=0 temos
X(0)=\sum_{n=0}^{7}(-1)^n = 1-1+1-1+1-1+1-1 = 0,
confirmando o resultado para k=0.

Resposta

X(0)=0
X(1)=0
X(2)=0
X(3)=0
X(4)=8
X(5)=0
X(6)=0
X(7)=0

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