Calcule a DFT de N pontos dos seguintes sinais, validos para
Passo 1
O enunciado fornece o sinal de comprimento
e pede: calcular a DFT de
pontos desse sinal (ou seja, obter
para
). Informações relevantes:
e os valores de
para
. A resolução começa a seguir.
Passo 2
Vamos escrever a definição da DFT de
pontos e explicar cada símbolo. A DFT é dada por
onde:
é a transformada discreta no índice
,
é a sequência no tempo no índice
,
é o número de pontos (aqui
),
é a unidade imaginária (
),
e . Essa fórmula soma as contribuições de cada amostra
ponderadas por complexas exponenciais de frequência.
e
Passo 3
Primeira observação sobre o sinal: os termos alternam sinal, então podemos escrever
Agora usamos a identidade entre
e uma exponencial complexa:
Isso é verdade porque
e, elevando à potência
, obtemos
.
Passo 4
Substituímos
na fórmula da DFT com
:
Agrupando os expoentes:
Para simplificar, definimos a razão complexa
Assim
Passo 5
Agora usamos a soma de uma progressão geométrica complexa. Para
vale a fórmula
Aqui
. Observe que
porque
é inteiro. Então o numerador
. Se
então a soma é zero. Se
a fórmula acima tem divisão por zero, mas nesse caso cada termo da soma é
e a soma vale
.
Passo 6
Determine quando
. Temos
quando o expoente é múltiplo de
, ou seja quando
o que equivale a
No intervalo
isso ocorre apenas para
. Portanto:
- para
temos e, como , a soma . - para
temos e então .
Passo 7
Conclusão lógica: a DFT do sinal é nula em todas as frequências exceto em
Isso faz sentido fisicamente porque
corresponde exatamente à bin
.]
Passo 8
(se quiser checar um caso rápido) Por exemplo, para
temos
confirmando o resultado para
.