Considere um Sistema LIT descrito pela seguinte equação diferencial,
Mostre que a Transformada de Fourier
pode ser escrita como
e encontre
.
Passo 1
Enunciado e o que se pede: \n
Temos a equação diferencial do sistema LIT
Temos a equação diferencial do sistema LIT
O enunciado pede para mostrar que a Transformada de Fourier
da saída pode ser escrita como
e encontrar
. \n
Informações dadas relevantes: \n
Informações dadas relevantes: \n
- A equação diferencial relaciona sinais no tempo
(entrada) e (saída). \n - Queremos a relação no domínio da frequência entre
e . \n
Não há figura nem outras condições explícitas no enunciado; implicitamente assumimos que os sinais e suas derivadas possuem Transformadas de Fourier bem-definidas (ou que as condições iniciais são zero de modo que não surjam termos adicionais ao transformar as derivadas).
Passo 2
Escolhendo a convenção da Transformada de Fourier e a propriedade das derivadas: \n
Vou usar a convenção de engenharia
Vou usar a convenção de engenharia
Propriedade crucial (derivada no tempo -> multiplicação por
na frequência): se
e suas derivadas são tais que os termos de contorno desaparecem em
, então
e, por iteração,
Rápida justificativa por integração por partes (idéia): ao integrar
faz-se integração por partes; o termo de fronteira
some se
tende a zero adequadamente, restando
. É por isso que preciso assumir que sinais são comportados (ou que ICs nulos).
Passo 3
Aplicando a Transformada de Fourier à equação diferencial termo a termo: \n
Transformo cada termo usando a propriedade das derivadas explicada no passo anterior. Para os termos com : \n
Transformo cada termo usando a propriedade das derivadas explicada no passo anterior. Para os termos com
Para os termos do lado direito com
: \n
Passo 4
Montando a equação algébrica em
: \n
Substituindo as transformadas no lugar da equação temporal obtemos
Substituindo as transformadas no lugar da equação temporal obtemos
Agrupando os termos em
e em
temos
Passo 5
Isolando
e identificando
: \n
Dividindo ambos os lados por (assumindo que não é zero para o
considerado) obtemos a relação entrada-saída
Dividindo ambos os lados por
Portanto o sistema é linear e invariantes no tempo na frequência, com função de transferência (resposta em frequência)
Uma forma alternativa, usando
, é