Considere um Sistema LIT descrito pela seguinte equação diferencial,
\frac{d^{2} y(t)}{d t^{2}}+2 \frac{d y(t)}{d t}+3 y(t)=4 \frac{d x(t)}{d t}-x(t)
Mostre que a Transformada de Fourier Y(\omega) pode ser escrita como Y(\omega)=H(\omega) X(\omega) e encontre H(\omega).

Passo 1

Enunciado e o que se pede: \n
Temos a equação diferencial do sistema LIT
\frac{d^{2} y(t)}{d t^{2}}+2 \frac{d y(t)}{d t}+3 y(t)=4 \frac{d x(t)}{d t}-x(t).
O enunciado pede para mostrar que a Transformada de Fourier Y(\omega) da saída pode ser escrita como Y(\omega)=H(\omega) X(\omega) e encontrar H(\omega). \n
Informações dadas relevantes: \n
  • A equação diferencial relaciona sinais no tempo x(t) (entrada) e y(t) (saída). \n
  • Queremos a relação no domínio da frequência entre Y(\omega) e X(\omega). \n
    Não há figura nem outras condições explícitas no enunciado; implicitamente assumimos que os sinais e suas derivadas possuem Transformadas de Fourier bem-definidas (ou que as condições iniciais são zero de modo que não surjam termos adicionais ao transformar as derivadas).

Passo 2

Escolhendo a convenção da Transformada de Fourier e a propriedade das derivadas: \n
Vou usar a convenção de engenharia
\mathcal{F}\{f(t)\}=F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-j\omega t}\,dt.
Propriedade crucial (derivada no tempo -> multiplicação por j\omega na frequência): se f(t) e suas derivadas são tais que os termos de contorno desaparecem em \pm\infty, então
\mathcal{F}\left\{\frac{d f(t)}{dt}\right\}=j\omega F(\omega)
e, por iteração,
\mathcal{F}\left\{\frac{d^{2} f(t)}{dt^{2}}\right\}=(j\omega)^{2} F(\omega).
Rápida justificativa por integração por partes (idéia): ao integrar \int f'(t)e^{-j\omega t}dt faz-se integração por partes; o termo de fronteira [f(t)e^{-j\omega t}]_{-\infty}^{\infty} some se f(t) tende a zero adequadamente, restando j\omega F(\omega). É por isso que preciso assumir que sinais são comportados (ou que ICs nulos).

Passo 3

Aplicando a Transformada de Fourier à equação diferencial termo a termo: \n
Transformo cada termo usando a propriedade das derivadas explicada no passo anterior. Para os termos com y(t): \n
\mathcal{F}\left\{\frac{d^{2} y(t)}{d t^{2}}\right\}=(j\omega)^{2}Y(\omega),
\mathcal{F}\left\{2\frac{d y(t)}{d t}\right\}=2(j\omega)Y(\omega),
\mathcal{F}\{3y(t)\}=3Y(\omega).
Para os termos do lado direito com x(t): \n
\mathcal{F}\left\{4\frac{d x(t)}{d t}\right\}=4(j\omega)X(\omega),
\mathcal{F}\{-x(t)\}=-X(\omega).

Passo 4

Montando a equação algébrica em \omega: \n
Substituindo as transformadas no lugar da equação temporal obtemos
(j\omega)^{2}Y(\omega)+2(j\omega)Y(\omega)+3Y(\omega)=4(j\omega)X(\omega)-X(\omega).
Agrupando os termos em Y(\omega) e em X(\omega) temos
\big((j\omega)^{2}+2(j\omega)+3\big)Y(\omega)=\big(4(j\omega)-1\big)X(\omega).

Passo 5

Isolando Y(\omega) e identificando H(\omega): \n
Dividindo ambos os lados por (j\omega)^{2}+2(j\omega)+3 (assumindo que não é zero para o \omega considerado) obtemos a relação entrada-saída
Y(\omega)=\frac{4(j\omega)-1}{(j\omega)^{2}+2(j\omega)+3}\;X(\omega).
Portanto o sistema é linear e invariantes no tempo na frequência, com função de transferência (resposta em frequência)
H(\omega)=\frac{4(j\omega)-1}{(j\omega)^{2}+2(j\omega)+3}.
Uma forma alternativa, usando (j\omega)^{2}=-\omega^{2}, é
H(\omega)=\frac{4j\omega-1}{-\omega^{2}+2j\omega+3}.

Resposta

H(\omega)=\frac{4(j\omega)-1}{(j\omega)^{2}+2(j\omega)+3}
\text{(equivalente: }H(\omega)=\frac{4j\omega-1}{-\omega^{2}+2j\omega+3}\text{)}

Exercícios relacionados