Calcule a série de Fourier Complexa onda triangular:
f(t)=\left|\frac{t}{2}\right| ;-10 \leq t \leq 10 ; f(t+2 \pi)=f(t)

Passo 1

O enunciado pede: calcular a série de Fourier complexa da função f(t)=\left|\dfrac{t}{2}\right|, com a condição periódica f(t+2\pi)=f(t).
Informações relevantes dadas no enunciado:
  • A função é f(t)=\left|\dfrac{t}{2}\right|.
  • A função é periódica de período 2\pi: f(t+2\pi)=f(t).
  • Queremos a série de Fourier complexa (ou seja, os coeficientes c_n tais que f(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{i n t}).

Passo 2

Escolhendo o intervalo fundamental: como o período é 2\pi, podemos tomar o intervalo simétrico padrão [- \pi,\pi] como intervalo de integração para calcular os coeficientes. Isso é válido porque a série de Fourier complexa usa a integração ao longo de um período; escolher [- \pi,\pi] facilita cálculos quando a função é par ou ímpar. Aqui f é par (pois |t| é par), o que vai simplificar integrais que envolvem exponenciais complexas.

Passo 3

Fórmula dos coeficientes complexos: os coeficientes da série de Fourier complexa são dados por
c_n=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(t)\,e^{-i n t}\,dt,\qquad n\in\mathbb{Z}.
Explicando a fórmula: c_n é o coeficiente associado ao termo e^{i n t}. O fator \dfrac{1}{2\pi} normaliza a integral sobre um período de comprimento 2\pi. A função e^{-i n t} é a base ortonormal complexa usada para projetar f.

Passo 4

Escrever f de forma prática no intervalo escolhido: como trabalhamos em [- \pi,\pi],
f(t)=\left|\frac{t}{2}\right|=\frac{1}{2}|t|.
Como |t| é par, podemos usar a simetria para transformar integrais sobre [- \pi,\pi] em integrais sobre [0,\pi] envolvendo \cos(nt) (a parte ímpar com \sin(nt) se anula).

Passo 5

Cálculo de c_0 (média / termo constante): para n=0,
c_0=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\frac{1}{2}|t|\,dt.
Usando simetria,
\int_{-\pi}^{\pi}|t|\,dt = 2\int_{0}^{\pi} t\,dt = 2\cdot\frac{\pi^2}{2}=\pi^2.
Portanto
c_0=\frac{1}{2\pi}\cdot\frac{1}{2}\cdot\pi^2=\frac{\pi}{4}.
Interpretação: c_0 é o valor médio da função no período.

Passo 6

Cálculo de c_n para n\neq 0: partir da definição,
c_n=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\frac{1}{2}|t|\,e^{-i n t}\,dt=\frac{1}{4\pi}\int_{-\pi}^{\pi}|t|\,e^{-i n t}\,dt.
Como |t| é função par, e e^{-i n t}=\cos(nt)-i\sin(nt), a parte ímpar envolvendo \sin(nt) se anula na integral simétrica. Assim
\int_{-\pi}^{\pi}|t|\,e^{-i n t}\,dt=2\int_{0}^{\pi} t\cos(nt)\,dt.
Logo
c_n=\frac{1}{4\pi}\cdot 2\int_{0}^{\pi} t\cos(nt)\,dt=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\pi} t\cos(nt)\,dt.

Passo 7

Avaliação da integral \displaystyle I_n=\int_{0}^{\pi} t\cos(nt)\,dt para n\neq 0: usamos integração por partes. Tome u=t e dv=\cos(nt)\,dt. Então du=dt e v=\dfrac{\sin(nt)}{n}. Aplicando:
I_n=\left.\frac{t\sin(nt)}{n}\right|_{0}^{\pi}-\int_{0}^{\pi}\frac{\sin(nt)}{n}\,dt.
A segunda integral é \displaystyle \int_{0}^{\pi}\sin(nt)\,dt=\left.-\frac{\cos(nt)}{n}\right|_{0}^{\pi}=-\frac{\cos(n\pi)-\cos(0)}{n}. Substituindo,
I_n=\frac{\pi\sin(n\pi)}{n}-\frac{1}{n}\left(-\frac{\cos(n\pi)-1}{n}\right).
Como \sin(n\pi)=0 e \cos(n\pi)=(-1)^n, obtemos
I_n=\frac{(-1)^n-1}{n^2}.

Passo 8

Substituindo I_n em c_n: para n\neq 0,
c_n=\frac{1}{2\pi}\cdot I_n=\frac{1}{2\pi}\cdot\frac{(-1)^n-1}{n^2}=\frac{(-1)^n-1}{2\pi n^2}.
Simplificando a expressão conforme paridade de n: se n é par, (-1)^n=1 e então c_n=0. Se n é ímpar, (-1)^n=-1 e então
c_n=\frac{-2}{2\pi n^2}=-\frac{1}{\pi n^2}.

Passo 9

Resumo das propriedades dos coeficientes e da série: os coeficientes complexos ficam
c_0=\frac{\pi}{4},\qquad c_n=\begin{cases} -\dfrac{1}{\pi n^2}, & n\\ \text{ímpar},\\[6pt] 0, & n\\ \text{par and } n\neq 0. \end{cases}í
A série de Fourier complexa é
f(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{i n t},
com c_n dados acima. Note que c_{-n}=c_n (os coeficientes são reais e pares) porque f é real e par.]

Resposta

f(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{i n t},
c_0=\frac{\pi}{4},\qquad c_n=\begin{cases} -\dfrac{1}{\pi n^2}, & n\\ \text{ímpar},\\[6pt] 0, & n\\ \text{par }(n\neq 0). \end{cases}í]

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