Calcule a série de Fourier Complexa onda triangular:
f(t)=\left|\frac{t}{2}\right| ;-10 \leq t \leq 10 ; f(t+2 \pi)=f(t)
Passo 1
O enunciado pede: calcular a série de Fourier complexa da função f(t)=\left|\dfrac{t}{2}\right|, com a condição periódica f(t+2\pi)=f(t).
Informações relevantes dadas no enunciado:
A função é f(t)=\left|\dfrac{t}{2}\right|.
A função é periódica de período 2\pi: f(t+2\pi)=f(t).
Queremos a série de Fourier complexa (ou seja, os coeficientes c_n tais que f(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{i n t}).
Passo 2
Escolhendo o intervalo fundamental: como o período é 2\pi, podemos tomar o intervalo simétrico padrão [- \pi,\pi] como intervalo de integração para calcular os coeficientes. Isso é válido porque a série de Fourier complexa usa a integração ao longo de um período; escolher [- \pi,\pi] facilita cálculos quando a função é par ou ímpar. Aqui f é par (pois |t| é par), o que vai simplificar integrais que envolvem exponenciais complexas.
Passo 3
Fórmula dos coeficientes complexos: os coeficientes da série de Fourier complexa são dados por
c_n=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(t)\,e^{-i n t}\,dt,\qquad n\in\mathbb{Z}.
Explicando a fórmula: c_n é o coeficiente associado ao termo e^{i n t}. O fator \dfrac{1}{2\pi} normaliza a integral sobre um período de comprimento 2\pi. A função e^{-i n t} é a base ortonormal complexa usada para projetar f.
Passo 4
Escrever f de forma prática no intervalo escolhido: como trabalhamos em [- \pi,\pi],
f(t)=\left|\frac{t}{2}\right|=\frac{1}{2}|t|.
Como |t| é par, podemos usar a simetria para transformar integrais sobre [- \pi,\pi] em integrais sobre [0,\pi] envolvendo \cos(nt) (a parte ímpar com \sin(nt) se anula).
Passo 5
Cálculo de c_0 (média / termo constante): para n=0,
Avaliação da integral \displaystyle I_n=\int_{0}^{\pi} t\cos(nt)\,dt para n\neq 0: usamos integração por partes. Tome u=t e dv=\cos(nt)\,dt. Então du=dt e v=\dfrac{\sin(nt)}{n}. Aplicando: