Calcule a DFT de N pontos dos seguintes sinais, validos para 0< \mathrm{n}< N-1
x(n)=a^{n}

Passo 1

O enunciado pede: calcular a DFT de N pontos do sinal x(n)=a^{n}. Vou interpretar que o sinal está definido para 0\le n\le N-1 (caso típico para DFT) e que queremos a transformada discreta de Fourier X(k) para k=0,1,\dots,N-1.
Informações dadas:
  • Sequência: x(n)=a^{n} para n=0,1,\dots,N-1.
  • Tamanho da DFT: N.
    Pergunta clara: encontrar uma fórmula fechada para X(k) (valores para todo k módulo N), e tratar eventuais casos especiais.

Passo 2

Definição da DFT (a fórmula que vamos usar): para k=0,1,\dots,N-1,
X(k)=\sum_{n=0}^{N-1} x(n)\,e^{-j\frac{2\pi}{N}kn}.
Aqui:
  • X(k) é o valor da DFT na frequência discreta k.
  • j é a unidade imaginária ( j^2=-1).
  • O somatório vai de n=0 até n=N-1 porque estamos fazendo DFT de N pontos.

Passo 3

Substituo x(n)=a^{n} na soma:
X(k)=\sum_{n=0}^{N-1} a^{n}\,e^{-j\frac{2\pi}{N}kn}.
Fatorando a potência comum, podemos escrever cada termo como uma potência de uma única razão:
a^{n}\,e^{-j\frac{2\pi}{N}kn}=\left(a\,e^{-j\frac{2\pi}{N}k}\right)^{n}.
Defino a razão geométrica
r \equiv a\,e^{-j\frac{2\pi}{N}k}.
Então a soma fica
X(k)=\sum_{n=0}^{N-1} r^{n},
ou seja, uma soma geométrica finita.

Passo 4

Lembra da fórmula da soma de uma progressão geométrica finita: para r\neq 1,
\sum_{n=0}^{N-1} r^{n}=\frac{1-r^{N}}{1-r}.
(Se quiser, derivação curta: multiplica-se a soma por (1-r) e cancela termos, fica 1-r^{N}.) Aplicando isso aqui (para r\neq 1) obtemos
X(k)=\frac{1-r^{N}}{1-r} =\frac{1-\big(a\,e^{-j\frac{2\pi}{N}k}\big)^{N}}{1-a\,e^{-j\frac{2\pi}{N}k}}.
Agora simplifico a potência no numerador: \big(e^{-j\frac{2\pi}{N}k}\big)^{N}=e^{-j2\pi k}=1 pois k é inteiro. Portanto
\big(a\,e^{-j\frac{2\pi}{N}k}\big)^{N}=a^{N}\,e^{-j2\pi k}=a^{N}.
Logo a expressão simplifica para
X(k)=\frac{1-a^{N}}{1-a\,e^{-j\frac{2\pi}{N}k}}\qquad\text{(quando }a\,e^{-j\frac{2\pi}{N}k}\neq 1\text{).}

Passo 5

Trato agora o caso especial em que a razão r= a\,e^{-j\frac{2\pi}{N}k}=1. Nesse caso a fórmula acima dá divisão por zero, e devemos avaliar a soma diretamente. Se r=1 então cada termo r^{n}=1 e
X(k)=\sum_{n=0}^{N-1} 1 = N.
A condição a\,e^{-j\frac{2\pi}{N}k}=1 pode ser reescrita como
a = e^{j\frac{2\pi}{N}k}.
Isto significa que, se a é uma das raízes N-ésimas da unidade (isto é, se existe um inteiro m tal que a=e^{j\frac{2\pi}{N}m}), então para o valor de k congruente a esse m módulo N teremos X(k)=N. Para os outros k — quando a^{N}=1 mas a\neq e^{j\frac{2\pi}{N}k} — observe que o numerador 1-a^{N}=0 enquanto o denominador é diferente de zero, então X(k)=0. Em resumo, se a^{N}=1 então X(k) é N no índice k correspondente à fase de a e 0 nos demais índices (efeito “impulso” no domínio de frequências).

Passo 6

Resumo de como usar na prova (dica prática): identifique a razão geométrica r=a e^{-j2\pi k/N}. Se r\neq 1 aplique \sum_{n=0}^{N-1}r^{n}=(1-r^{N})/(1-r) e simplifique r^{N}=a^{N}. Se r=1 então a soma vale N. Guarde o caso especial das raízes N-ésimas da unidade — é um resultado que aparece bastante.

Resposta

X(k)=\begin{cases} \dfrac{1-a^{N}}{1-a\,e^{-j\frac{2\pi}{N}k}}, & \text{se }a\,e^{-j\frac{2\pi}{N}k}\neq 1,\\[8pt] N, & \text{se }a\,e^{-j\frac{2\pi}{N}k}=1. \end{cases}]

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