Calcule a DFT de N pontos dos seguintes sinais, validos para
Passo 1
O enunciado pede: calcular a DFT de
pontos do sinal
. Vou interpretar que o sinal está definido para
(caso típico para DFT) e que queremos a transformada discreta de Fourier
para
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- Sequência:
para . - Tamanho da DFT:
.
Pergunta clara: encontrar uma fórmula fechada para(valores para todo módulo ), e tratar eventuais casos especiais.
Passo 2
Definição da DFT (a fórmula que vamos usar): para
,
Aqui:
-
é o valor da DFT na frequência discreta . -
é a unidade imaginária ( ). - O somatório vai de
até porque estamos fazendo DFT de pontos.
Passo 3
Substituo
na soma:
Fatorando a potência comum, podemos escrever cada termo como uma potência de uma única razão:
Defino a razão geométrica
Então a soma fica
ou seja, uma soma geométrica finita.
Passo 4
Lembra da fórmula da soma de uma progressão geométrica finita: para
,
(Se quiser, derivação curta: multiplica-se a soma por
e cancela termos, fica
.) Aplicando isso aqui (para
) obtemos
Agora simplifico a potência no numerador:
pois
é inteiro. Portanto
Logo a expressão simplifica para
Passo 5
Trato agora o caso especial em que a razão
. Nesse caso a fórmula acima dá divisão por zero, e devemos avaliar a soma diretamente. Se
então cada termo
e
A condição
pode ser reescrita como
Isto significa que, se
é uma das raízes
-ésimas da unidade (isto é, se existe um inteiro
tal que
), então para o valor de
congruente a esse
módulo
teremos
. Para os outros
— quando
mas
— observe que o numerador
enquanto o denominador é diferente de zero, então
. Em resumo, se
então
é
no índice
correspondente à fase de
e
nos demais índices (efeito “impulso” no domínio de frequências).
Passo 6
Resumo de como usar na prova (dica prática): identifique a razão geométrica
. Se
aplique
e simplifique
. Se
então a soma vale
. Guarde o caso especial das raízes
-ésimas da unidade — é um resultado que aparece bastante.