Calcule a diferencial total. z = ln(x + x * y^2)

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a diferencial total da função . Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente envolvendo derivadas parciais. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas de em relação a e .

Passo 2

A diferencial total de uma função de duas variáveis é dada por:
Ou seja, precisamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e .

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de em relação a .
Temos:
Primeiro, simplificamos a expressão dentro do logaritmo:
Agora, aplicamos a derivada de uma função logarítmica:
Calculando a derivada dentro:
Então:

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a .
Usando a mesma função:
Aplicamos a derivada de uma função logarítmica:
Calculando a derivada dentro:
Então:

Passo 5

Agora que temos as derivadas parciais, podemos montar a diferencial total :
Substituindo os valores que encontramos:

Resposta

A diferencial total da função é:

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