Calcule a diferencial.
Passo 1
O enunciado nos dá a função
. As variáveis independentes são
e
. O que se pede é calcular a diferencial total
dessa função (ou seja, a variação linear de
em função das variações
e
). Aqui
é uma constante (o número de Euler), portanto trata-se como coeficiente constante.
Passo 2
Lembrete prático do conceito (bem passo a passo e sem mistério): para uma função de duas variáveis
, a diferencial total
é dada por
Isto significa: calcula-se a derivada parcial de
em relação a
(tratando
como constante) e multiplica-se por
, e soma-se a derivada parcial de
em relação a
(tratando
como constante) vezes
. Aqui
e
representam pequenas variações em
e
, e
é a aproximação linear da variação correspondente em
.
Passo 3
Agora calculamos a derivada parcial de
em relação a
. Na expressão
o termo que depende de
é
;
é constante, então aplicamos a regra da potência:
Explicando: a derivada de
em relação a
é
; multiplicando pelo coeficiente
fica
.
Passo 4
Agora a derivada parcial de
em relação a
. O único termo que depende de
é
. Aplicando a regra da potência:
Explicando: a derivada de
é
, com o sinal negativo fica
.
Passo 5
Substituímos as derivadas parciais na fórmula da diferencial total vista no Passo 2:
Simplificando a escrita,