Calcule a diferencial.
u=e s^{2}-t^{2}

Passo 1

O enunciado nos dá a função u = e s^{2} - t^{2}. As variáveis independentes são s e t. O que se pede é calcular a diferencial total du dessa função (ou seja, a variação linear de u em função das variações ds e dt). Aqui e é uma constante (o número de Euler), portanto trata-se como coeficiente constante.

Passo 2

Lembrete prático do conceito (bem passo a passo e sem mistério): para uma função de duas variáveis u(s,t), a diferencial total du é dada por
du=\frac{\partial u}{\partial s}\,ds+\frac{\partial u}{\partial t}\,dt.
Isto significa: calcula-se a derivada parcial de u em relação a s (tratando t como constante) e multiplica-se por ds, e soma-se a derivada parcial de u em relação a t (tratando s como constante) vezes dt. Aqui ds e dt representam pequenas variações em s e t, e du é a aproximação linear da variação correspondente em u.

Passo 3

Agora calculamos a derivada parcial de u em relação a s. Na expressão u = e s^{2}-t^{2} o termo que depende de s é e s^{2}; e é constante, então aplicamos a regra da potência:
\frac{\partial u}{\partial s}=e\cdot\frac{d}{ds}\bigl(s^{2}\bigr)=e\cdot 2s = 2 e s.
Explicando: a derivada de s^{2} em relação a s é 2s; multiplicando pelo coeficiente e fica 2 e s.

Passo 4

Agora a derivada parcial de u em relação a t. O único termo que depende de t é -t^{2}. Aplicando a regra da potência:
\frac{\partial u}{\partial t}=\frac{d}{dt}\bigl(-t^{2}\bigr)=-2t.
Explicando: a derivada de t^{2} é 2t, com o sinal negativo fica -2t.

Passo 5

Substituímos as derivadas parciais na fórmula da diferencial total vista no Passo 2:
du=\frac{\partial u}{\partial s}\,ds+\frac{\partial u}{\partial t}\,dt = (2 e s)\,ds + (-2t)\,dt.
Simplificando a escrita,
du = 2 e s\,ds - 2 t\,dt.

Resposta

du = 2 e s\,ds - 2 t\,dt

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