Calcule a difusividade do sistema ar-dióxido de carbono a 317.2 K e 1 atm usando as equações de:
(b) Equação de Fuller et al.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a difusividade do sistema ar–dióxido de carbono nas condições \,T=317,2\\ \text{K}\, e \,P=1\\ \text{atm}\, usando a equação de Fuller et al.
Informações dadas e escolhas/assunções que vou usar (não te perguntei nada; escolhi hipóteses razoáveis usadas em provas):
  • Temperatura: \,T=317,2\\ \text{K}\,.
  • Pressão: \,P=1\\ \text{atm}\,.
  • Vou aproximar o ar por nitrogênio (\text{N}_2) — isso é comum em exercícios quando se diz “ar”. Assim uso os dados do \text{N}_2.
  • Valores retirados da tabela de volumes de difusão (tabela de Fuller):
    • \,V_{\text{N}_2}=17,9\\ \text{cm}^3\!\cdot\!\text{mol}^{-1}\, (volume de difusão do nitrogênio).
    • \,V_{\text{CO}_2}=26,9\\ \text{cm}^3\!\cdot\!\text{mol}^{-1}\, (volume de difusão do dióxido de carbono).
  • Pesos molares (tabela):
    • \,M_{\text{N}_2}=28,0134\\ \text{g}\!\cdot\!\text{mol}^{-1}\,.
    • \,M_{\text{CO}_2}=44,01\\ \text{g}\!\cdot\!\text{mol}^{-1}\,.
O que vou calcular: \,D_{AB} (coeficiente de difusão binária do par ar– \text{CO}_2) usando a fórmula de Fuller.

Passo 2

Apresentando a fórmula de Fuller (forma empírica usada para difusão binária de gases, com unidades padrão abaixo):
D_{AB}=\frac{0,00143\;T^{1,75}}{P\,\sqrt{M_A+M_B}\,\bigl(V_A^{1/3}+V_B^{1/3}\bigr)^{2}}
Explicando cada símbolo (para ficar bem claro):
  • \,D_{AB} é a difusividade binária desejada. Unidade nesta fórmula: \,\text{cm}^2\!\cdot\!\text{s}^{-1}\,.
  • \,T é a temperatura em kelvin ( \text{K}).
  • \,P é a pressão em atmosferas ( \text{atm}).
  • \,M_A e \,M_B são os pesos molares das duas espécies em \text{g}\!\cdot\!\text{mol}^{-1}.
  • \,V_A e \,V_B são os volumes de difusão (Fuller) em \text{cm}^3\!\cdot\!\text{mol}^{-1}.
  • A constante empírica 0,00143 garante as unidades corretas (essa é a forma usual tabulada para devolver D em \text{cm}^2/\text{s}).
Observação pedagógica rápida: a forma \bigl(V_A^{1/3}+V_B^{1/3}\bigr)^2 representa efeito do “tamanho” efetivo das moléculas (volumes de difusão), enquanto o fator \sqrt{M_A+M_B} traz uma dependência com massas molares; tudo empírico mas muito usado em provas.

Passo 3

Agora aplico a fórmula com os números que listei. Primeiro calculos intermediários (mostrando passo a passo o “como fazer na prova” sem calculadora exata; aproximei valores com aritmética):
  1. Soma dos pesos molares e raiz quadrada:
M_A+M_B=28,0134+44,01=72,0234
\sqrt{M_A+M_B}=\sqrt{72,0234}\approx8,487
  1. Raiz cúbica dos volumes de difusão (estimativa por aproximação de cubos):
V_A^{1/3}= (17,9)^{1/3}\approx2,62
(checando: 2,62^3\approx17,99, então é consistente)
V_B^{1/3}= (26,9)^{1/3}\approx2,998\approx3,00
(checando: 3,00^3=27, muito próximo de 26,9)
V_A^{1/3}+V_B^{1/3}\approx2,62+2,998=5,618
\bigl(V_A^{1/3}+V_B^{1/3}\bigr)^2\approx(5,618)^2\approx31,57
  1. Potência da temperatura:
T^{1,75}=(317,2)^{1,75}.
Uma forma prática de calcular sem máquina é usar logaritmos; aqui apresento o valor numérico aproximado:
T^{1,75}\approx23812
(isto vem de 1,75\cdot\ln(317,2) e exponenciação; na prova, se permitido, pode usar calculadora — senão uma aproximação por interpolação funciona.)
  1. Numerador da fórmula:
0,00143\;T^{1,75}\approx0,00143\times23812\approx34,058
  1. Denominador:
P\;\sqrt{M_A+M_B}\;\bigl(V_A^{1/3}+V_B^{1/3}\bigr)^2 =1\times8,487\times31,57\approx267,90
  1. Dividindo para obter D_{AB} em \text{cm}^2/\text{s}:
D_{AB}\approx\frac{34,058}{267,90}\approx0,12716\\ \text{cm}^2\!\cdot\!\text{s}^{-1}.

Passo 4

Conversão para unidades SI ( \text{m}^2\!\cdot\!\text{s}^{-1}): 1\\ \text{cm}^2\!\cdot\!\text{s}^{-1}=10^{-4}\\ \text{m}^2\!\cdot\!\text{s}^{-1}.
Logo:
D_{AB}\approx0,12716\\ \text{cm}^2\!\cdot\!\text{s}^{-1}=1,2716\times10^{-5}\\ \text{m}^2\!\cdot\!\text{s}^{-1}.
Comentário final (motivação/encorajamento): valor obtido é da ordem de 10^{-5}\\ \text{m}^2/\text{s}, que é típico para difusão molecular de gases em pressão atmosférica. Se na prova pedirem usar “ar” com outra aproximação (por exemplo média ponderada dos volumes de difusão do N _2 e O _2), o procedimento é o mesmo — só mudam M_A e V_A que entram nas contas acima.

Resposta

D_{\text{ar--CO}_2}\approx1,27\times10^{-5}\\ \text{m}^2\!\cdot\!\text{s}^{-1}=0,127\\ \text{cm}^2\!\cdot\!\text{s}^{-1}

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