- O coeficiente de difusão do dióxido de carbono em nitrogênio a
e 1 atm é
. Determine a difusividade para o sistema a
e 10 atm usando:
(a) Equação de Fuller et al.
(b) Equação de Chapman-Enskog
Discuta sobre a diferença entre o coeficiente de difusão a maior temperatura e pressão e o coeficiente fonecido neste enunciado.
(a) Equação de Fuller et al.
(b) Equação de Chapman-Enskog
Passo 1
O enunciado dá e pede o seguinte (vou listar tudo claramente para a gente não se perder):
- Dado: coeficiente de difusão do dióxido de carbono em nitrogênio a
e é
- Estados iniciais e finais:
- Pedidos:
(a) determinarpara em a , usando a equação de Fuller et al.;
(b) determinarpara o mesmo sistema a , usando a equação de Chapman–Enskog; - Observação prática que vou usar: ambas as fórmulas (Fuller e Chapman–Enskog) para difusão binária no regime de gás ideal podem ser escritas de forma que, para a mesma mistura, as dependências de temperatura e pressão ficam separáveis. Assim, para passar de
para podemos usar uma relação de razão que cancela as quantidades que não mudam (massa molar, volumes de difusão ou diâmetros efetivos), mantendo apenas a dependência em e . Vou explicar e aplicar isso passo a passo.
Passo 2
Fuller et al. — fórmula e raciocínio prático.
- A fórmula empírica de Fuller para coeficiente de difusão binária (forma prática) tem dependência aproximadamente
onde:
-
é a temperatura em kelvin, -
é a pressão (em atm, quando se usa a constante empírica padrão), -
são massas molares (g/mol) e são volumes de difusão (Fuller), -
o fator que envolve
e depende só das espécies (a mistura CO /N aqui), então ao comparar duas condições e ele se cancela. -
Portanto a razão entre os coeficientes em duas condições (mesma mistura) é simplesmente
- Agora calculamos passo a passo:
(Expliquei por que a dependência em
e
some na razão: porque a mistura não mudou — só T e P — então os fatores constantes se cancelam.)
Passo 3
Chapman–Enskog — fórmula e aplicação prática (escala entre condições).
- A expressão teórica de Chapman–Enskog para difusão binária num gás ideal tem a dependência básica
onde:
-
é temperatura (K), -
pressão (atm, com a constante adequada), -
é a massa reduzida em unidades apropriadas (depende das massas molares das duas espécies) — constante para a mistura fixa, -
é um diâmetro efetivo de colisão (constante para as duas espécies), -
é a integral de colisão (função adimensional do parâmetro reduzido ), que depende da temperatura (diminui quando a temperatura aumenta). - Para comparar duas condições para a mesma mistura, a maioria dos fatores constantes cancela, sobrando aproximadamente
- Se, como aproximação inicial, assumirmos que a integral de colisão não varia muito entre
e (isto é, , aproximação razoável para estimativas rápidas), então
- Calculando:
- Observação sobre
: a integral de colisão diminui com aumento de temperatura reduzida, logo e portanto o fator é maior que 1, o que aumentaria levemente em relação ao valor approximado acima. Esse efeito é tipicamente da ordem de poucos por cento a algumas dezenas de percentuais dependendo dos parâmetros de Lennard-Jones das moléculas; sem tabelas/valores precisos, a aproximação constante dá uma boa estimativa.
Passo 4
Comparação numérica e precisão esperada
-
Resultados numéricos encontrados:
- Fuller:
- Chapman–Enskog (aprox. sem correção de
):
- Fuller:
-
Diferença relativa entre os dois métodos:
Então eles concordam bem (diferença pequena, algumas %), o que é comum em estimativas práticas.
Passo 5
Interpretação física e discussão (por que mudou e limitações das fórmulas)
-
Por que o coeficiente mudou em relação ao valor dado (
a )? - Ambos os modelos preveem uma dependência geral do tipo
(Fuller com , Chapman–Enskog com mais correção ). Aqui a temperatura aumentou (o que tende a aumentar ) mas a pressão aumentou muito mais (fator 10, o que tende a diminuir ). O efeito da pressão domina, logo o coeficiente final é muito menor: cerca de – , ou seja aproximadamente 6 vezes menor que o valor original. - Fisicamente: maior pressão → menor livre caminho médio entre colisões → menor difusividade; maior temperatura → moléculas mais energéticas, maior velocidade térmica → tende a aumentar difusividade, mas aqui não compensa o aumento de pressão.
- Ambos os modelos preveem uma dependência geral do tipo
-
Sobre precisão e validade:
- Ambas as fórmulas assumem comportamento de gás relativamente ideal e que as propriedades como volumes de difusão ou parâmetros de Lennard-Jones não mudam com densidade além do que as fórmulas incorporam. A
já é pressão moderada; para gases ideais a e temperaturas próximas, as fórmulas são muito confiáveis. A podem surgir efeitos de não idealidade (especialmente para que tem interações intermoleculares relativamente fortes), o que pode causar desvios adicionais — normalmente exigindo correções experimentais ou teorias mais refinadas para densidades elevadas. - A Chapman–Enskog é teoricamente mais fundamentada (baseada em colisões e potencial intermolecular) e, quando se usam parâmetros de Lennard-Jones e tabelas de
, tende a ser mais precisa em regimes onde a idealidade ainda se mantém. A fórmula de Fuller é empírica e muito prática; costuma dar estimativas rápidas e razoáveis para gases a pressões próximas das atmosféricas. - A variação da integral de colisão
com pode alterar o valor Chapman em alguns por cento; isso tende a aproximá-lo ainda mais do resultado de Fuller no caso real.
- Ambas as fórmulas assumem comportamento de gás relativamente ideal e que as propriedades como volumes de difusão ou parâmetros de Lennard-Jones não mudam com densidade além do que as fórmulas incorporam. A
-
Conclusão prática: para estimativa rápida em ausência de dados mais precisos, usei as escalas acima e obtive
-
na faixa de .
Para aplicações onde a precisão absoluta é crítica, recomenda-se usar parâmetros de Lennard-Jones e tabelas de(para Chapman–Enskog) ou dados experimentais à pressão de interesse.
-
Resposta
(a)
\n
(b)
(b)