Calcule a dimensão dos espaços vetoriais descritos abaixo (com justificativa).
(b) M3 times 4(C) matrizes de ordem 3 times 4 como C-espaço vetorial.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a dimensão do espaço vetorial das matrizes de ordem 3 times 4 sobre os números complexos, ou seja, M3 times 4(C). Para isso, vamos precisar entender o que é um espaço vetorial e como determinar sua dimensão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um espaço vetorial é um conjunto de objetos que podemos somar e multiplicar por escalar, seguindo certas regras. No nosso caso, estamos lidando com matrizes, que podem ser somadas e multiplicadas por números complexos.

Passo 3

A dimensão de um espaço vetorial é o número de vetores que formam a base desse espaço, ou seja, o número mínimo de vetores necessários para gerar todo o espaço através de combinações lineares. Para matrizes, cada elemento da matriz pode ser considerado como um vetor no espaço.

Passo 4

Vamos ver quantos elementos há em uma matriz 3 times 4. Cada matriz tem 3 linhas e 4 colunas, então ela possui 3 times 4 = 12 elementos. Cada um desses elementos é um número complexo que pode variar independentemente dos outros.

Passo 5

Como cada elemento da matriz é independente e pode variar livremente, a dimensão do espaço M3 times 4(C) é igual ao número total de elementos na matriz.

Resposta

A dimensão de M3 times 4(C) é 12.

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