Calcule a dimensão dos espaços vetoriais descritos abaixo (com justificativa).
(a)
matrizes de ordem
como
-espaço vetorial.
(a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos que calcular a dimensão do espaço vetorial
, que é o conjunto de todas as matrizes de tamanho
com entradas reais. Estamos no campo da Álgebra Linear, e para resolver isso, vamos precisar entender o que significa a dimensão de um espaço vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a dimensão de um espaço vetorial é o número de vetores na sua base. Uma base é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço. No caso das matrizes, usamos matrizes que têm um único 1 em uma posição e 0 nas outras posições como base padrão.
Passo 3
Agora, vamos contar quantas dessas matrizes básicas existem para
. Cada matriz básica terá um 1 em uma das posições das
linhas e
colunas, e 0 nas demais. Isso significa que para cada elemento da matriz, temos uma matriz básica correspondente.
Passo 4
Então, o número total de matrizes básicas é igual ao número total de posições na matriz original. Como nossa matriz tem
linhas e
colunas, o total de posições é:
Resposta
A dimensão do espaço vetorial
é
.