Calcule a dimensão dos espaços vetoriais descritos abaixo (com justificativa).
(a) M3 times 4(R) matrizes de ordem 3 times 4 como R-espaço vetorial.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que calcular a dimensão do espaço vetorial M3 times 4(R), que é o conjunto de todas as matrizes de tamanho 3 times 4 com entradas reais. Estamos no campo da Álgebra Linear, e para resolver isso, vamos precisar entender o que significa a dimensão de um espaço vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a dimensão de um espaço vetorial é o número de vetores na sua base. Uma base é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço. No caso das matrizes, usamos matrizes que têm um único 1 em uma posição e 0 nas outras posições como base padrão.

Passo 3

Agora, vamos contar quantas dessas matrizes básicas existem para M3 times 4(R). Cada matriz básica terá um 1 em uma das posições das 3 linhas e 4 colunas, e 0 nas demais. Isso significa que para cada elemento da matriz, temos uma matriz básica correspondente.

Passo 4

Então, o número total de matrizes básicas é igual ao número total de posições na matriz original. Como nossa matriz tem 3 linhas e 4 colunas, o total de posições é:
3 times 4 = 12

Resposta

A dimensão do espaço vetorial M3 times 4(R) é 12.

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