0,0 3 Calcule a distância entre o plano \pi_{1}: x+y=4-z e o plano \pi_{2}: 3 x+y=5.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a distância entre os dois planos dados. As informações fornecidas são os dois planos:
\pi_{1}: x+y=4-z
\pi_{2}: 3x+y=5
Ou seja, temos duas equações de plano em \mathbb{R}^3 e a pergunta é: qual é a distância entre esses dois planos?

Passo 2

Vamos primeiro colocar cada equação na forma padrão ax+by+cz=d, que facilita identificar o vetor normal do plano. Reescrevendo \pi_{1}:
x+y=4-z \quad\Longrightarrow\quad x+y+z=4.
Reescrevendo \pi_{2}:
3x+y=5 \quad\Longrightarrow\quad 3x+y+0\cdot z=5.
Na forma ax+by+cz=d, os coeficientes (a,b,c) são o vetor normal ao plano.

Passo 3

Identificamos os vetores normais:
\mathbf{n}_1=(1,1,1)\quad\text{(do plano \(\pi_{1}\))},
\mathbf{n}_2=(3,1,0)\quad\text{(do plano \(\pi_{2}\))}.
Para dois planos serem paralelos, seus vetores normais devem ser colineares, ou seja, existir k tal que \mathbf{n}_2=k\mathbf{n}_1. Vamos verificar se existe tal k:
das componentes teríamos 3=k\cdot1, 1=k\cdot1 e 0=k\cdot1. Essas três igualdades pedem simultaneamente k=3, k=1 e k=0, o que é impossível. Portanto \mathbf{n}_1 e \mathbf{n}_2 não são colineares.

Passo 4

Como os vetores normais não são colineares, os planos não são paralelos. Em \mathbb{R}^3, dois planos que não são paralelos necessariamente se intersectam ao longo de uma reta. Se dois planos se intersectam, a menor distância entre eles é zero (porque há pontos que pertencem a ambos os planos). Logo, a distância entre \pi_{1} e \pi_{2} é 0.

Passo 5

Para tornar a ideia mais concreta (e provar que realmente há interseção), podemos resolver o sistema formado pelas duas equações e encontrar um ponto em comum. De \pi_{2} temos y=5-3x. Substituindo em \pi_{1}:
x+(5-3x)+z=4 \quad\Longrightarrow\quad -2x+5+z=4 \quad\Longrightarrow\quad z=2x-1.
Escolhendo x=1 (qualquer valor de x gera um ponto da reta de interseção), obtemos y=5-3=2 e z=2\cdot1-1=1. O ponto (1,2,1) pertence a ambos os planos, confirmando a interseção e portanto distância zero.

Passo 6

(Fórmula útil para a prova) Se os planos fossem paralelos e escritos na forma ax+by+cz=d_1 e ax+by+cz=d_2 com o mesmo vetor normal (a,b,c), a distância entre eles seria
\text{dist}=\frac{|d_2-d_1|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}.
Aqui essa fórmula não se aplica porque os vetores normais não coincidem; por isso usamos o critério de paralelismo e a verificação da interseção.

Resposta

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