0,0 3 Calcule a distância entre o plano
e o plano
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a distância entre os dois planos dados. As informações fornecidas são os dois planos:
Ou seja, temos duas equações de plano em
e a pergunta é: qual é a distância entre esses dois planos?
Passo 2
Vamos primeiro colocar cada equação na forma padrão
, que facilita identificar o vetor normal do plano. Reescrevendo
:
Reescrevendo
:
Na forma
, os coeficientes
são o vetor normal ao plano.
Passo 3
Identificamos os vetores normais:
Para dois planos serem paralelos, seus vetores normais devem ser colineares, ou seja, existir
tal que
. Vamos verificar se existe tal
:
das componentes teríamos ,
e
. Essas três igualdades pedem simultaneamente
,
e
, o que é impossível. Portanto
e
não são colineares.
das componentes teríamos
Passo 4
Como os vetores normais não são colineares, os planos não são paralelos. Em
, dois planos que não são paralelos necessariamente se intersectam ao longo de uma reta. Se dois planos se intersectam, a menor distância entre eles é zero (porque há pontos que pertencem a ambos os planos). Logo, a distância entre
e
é
.
Passo 5
Para tornar a ideia mais concreta (e provar que realmente há interseção), podemos resolver o sistema formado pelas duas equações e encontrar um ponto em comum. De
temos
. Substituindo em
:
Escolhendo
(qualquer valor de
gera um ponto da reta de interseção), obtemos
e
. O ponto
pertence a ambos os planos, confirmando a interseção e portanto distância zero.
Passo 6
(Fórmula útil para a prova) Se os planos fossem paralelos e escritos na forma
e
com o mesmo vetor normal
, a distância entre eles seria
Aqui essa fórmula não se aplica porque os vetores normais não coincidem; por isso usamos o critério de paralelismo e a verificação da interseção.
Resposta
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