Analizar la verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones. Justificar claramente.
a) Si
es lineal entonces se verifica que
b) Si
es una aplicación lineal inyectiva entonces
es suryectiva.
c) Si
es lineal y
entonces
es suryectiva.
d) Si
es una aplicación lineal y suryectiva entonces
es una aplicación inyectiva
a) Si
b) Si
c) Si
d) Si
Passo 1
Vamos organizar certinho o que o enunciado dá e o que pede para cada item, sem resolver nada ainda.
- O que nos pedem: analisar se cada afirmação é verdadeira ou falsa e justificar claramente.
- Notação e nomes:
-
é a imagem (ou posto) da aplicação linear . -
é o núcleo (kernel) de .
-
- Dimensões úteis (estas vêm do enunciado ou de conhecimento padrão sobre espaços):
-
é o espaço dos polinômios com grau menor ou igual a . Logo (coefs de ). -
tem . -
tem . - O espaço
(matrizes ) tem dimensão . -
tem dimensão .
-
- As quatro afirmações a analisar:
(a) Paralinear, a relação .
(b) Paralinear injetiva, então é sobrejetiva.
(c) Paralinear com , então é sobrejetiva.
(d) Paralinear e sobrejetiva, então é injetiva.
Passo 2
Vou lembrar e explicar uma ferramenta central que vamos usar em todas as afirmações: o Teorema do Posto-Nulidade (rank-nullity).
- Enunciado do teorema: se
é uma aplicação linear entre espaços vetoriais de dimensão finita, então vale
- O que cada coisa significa:
-
é o posto (rank) de , o número de vetores linearmente independentes na imagem. -
é a dimensão do núcleo, o número de graus de liberdade dos vetores que vão para zero. -
é a dimensão do espaço de partida (domínio).
-
- Intuição rápida: uma base de
pode ser particionada em vetores que geram o núcleo (que não contribuem para a imagem) e vetores que, quando aplicados por , geram a imagem. O número total é a soma dessas dimensões. - Consequências práticas que vamos usar:
- Se
é injetiva então e . - Se
é sobrejetiva então . - Sempre
.
- Se
Passo 3
Afirmativa (a): “Se
é linear então
.”
- Pelo teorema do posto-nulidade, para qualquer
temos
- Aqui o domínio é
, e já identifiquei que . Logo a relação correta é
e não
.
- Portanto a afirmativa que diz que a soma é
está errada. - Exemplo concreto simples que demonstra a falsidade: a aplicação nula
para todo . Então tem dimensão e tem dimensão . Soma . - Conclusão: (a) é falsa.
Passo 4
Afirmativa (b): “Se
é linear injetiva então
é sobrejetiva.”
- Dimensões:
e . - Suponha que
fosse injetiva. Então e, pelo posto-nulidade,
- Mas a imagem é subespaço de
, então sua dimensão não pode exceder . Ou seja, . - Logo não é possível ter
. Conclusão: NÃO existe nenhuma aplicação linear injetiva de em . - Agora atenção à lógica da afirmativa: ela afirma um condicional “se injetiva então sobrejetiva”. Como NÃO existe mapa linear que satisfaça a hipótese (injetiva), a implicação é verdadeira de forma vacuamente verdadeira (uma proposição “se P então Q” é verdadeira sempre que P for falsa).
- Em linguagem mais direta: a hipótese nunca ocorre, portanto não há contraexemplo que viole a implicação; por isso a afirmação é verdadeira (por vacuidade). Mas é importante notar que a situação é trivial porque a injetividade é impossível aqui.
- Resumo/intuition: injetividade levaria a rank
que não cabe no codomínio de dimensão ; então não existem aplicações injetivas. Portanto a afirmação “se injetiva então sobrejetiva” é verdadeira, porém sem conteúdo prático porque a hipótese é impossível.
Passo 5
Afirmativa (c): “Se
é linear e
então
é sobrejetiva.”
- Dimensões:
e . - Pelo posto-nulidade:
- Então a imagem tem dimensão
. Para ser sobrejetiva seria necessário . Como , NÃO é sobrejetiva. - Podemos dar um exemplo explícito para visualizar: defina
por
- A imagem consiste dos polinômios que têm coeficiente de
igual a zero; esse subespaço tem dimensão . - O núcleo são os vetores com
, ou seja vetores , que formam um subespaço de dimensão . - Logo
e não é sobrejetiva (polinômios com termo não estão na imagem). - Conclusão: (c) é falsa.
Passo 6
Afirmativa (d): “Se
é linear e surjectiva então
é injetiva.”
- Dimensões:
e . - Se
é sobrejetiva, então . - Pelo posto-nulidade:
- Como o núcleo tem dimensão
, ele contém vetores não-nulos, logo não é injetiva. - Exemplo explícito: a projeção que manda
é sobrejetiva (qualquer tripla
aparece), mas seu núcleo é o espaço gerado por
(polinômios do tipo
), de dimensão
; portanto não é injetiva.
- Conclusão: (d) é falsa.
Resposta
(a) Falsa
(b) Verdadeira (vacuamente; não existe aplicação linear injetiva )
(c) Falsa
(d) Falsa
(b) Verdadeira (vacuamente; não existe aplicação linear injetiva
(c) Falsa
(d) Falsa