Analizar la verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones. Justificar claramente.
a) Si \mathbf{F}: \mathbf{P}_{3} \rightarrow \mathbf{R}^{3} es lineal entonces se verifica que \operatorname{dim}\left(\mathbf{I}_{\mathbf{F}}\right)+\operatorname{dim}\left(\mathbf{N}_{\mathbf{F}}\right)=3
b) Si \mathbf{F}: \mathbf{R}^{2 \times 2} \rightarrow \mathbf{P}_{2} es una aplicación lineal inyectiva entonces \mathbf{F} es suryectiva.
c) Si \mathbf{F}: \mathbf{R}^{4} \rightarrow \mathbf{P}_{3} es lineal y \operatorname{dim}\left(\mathbf{N}_{\mathbf{F}}\right)=\mathbf{1} entonces \mathbf{F} es suryectiva.
d) Si \mathbf{F}: \mathbf{P}_{3} \rightarrow \mathbf{R}^{3} es una aplicación lineal y suryectiva entonces \mathbf{F} es una aplicación inyectiva

Passo 1

Vamos organizar certinho o que o enunciado dá e o que pede para cada item, sem resolver nada ainda.
  • O que nos pedem: analisar se cada afirmação é verdadeira ou falsa e justificar claramente.
  • Notação e nomes:
    • \mathbf{I}_{\mathbf{F}} é a imagem (ou posto) da aplicação linear \mathbf{F}.
    • \mathbf{N}_{\mathbf{F}} é o núcleo (kernel) de \mathbf{F}.
  • Dimensões úteis (estas vêm do enunciado ou de conhecimento padrão sobre espaços):
    • \mathbf{P}_{3} é o espaço dos polinômios com grau menor ou igual a 3. Logo \dim(\mathbf{P}_{3})=4 (coefs de 1,x,x^{2},x^{3}).
    • \mathbf{P}_{2} tem \dim(\mathbf{P}_{2})=3.
    • \mathbb{R}^{3} tem \dim(\mathbb{R}^{3})=3.
    • O espaço \mathbb{R}^{2\times2} (matrizes 2\times2) tem dimensão 4.
    • \mathbb{R}^{4} tem dimensão 4.
  • As quatro afirmações a analisar:
    (a) Para \mathbf{F}:\mathbf{P}_{3}\to\mathbb{R}^{3} linear, a relação \dim(\mathbf{I}_{\mathbf{F}})+\dim(\mathbf{N}_{\mathbf{F}})=3.
    (b) Para \mathbf{F}:\mathbb{R}^{2\times2}\to\mathbf{P}_{2} linear injetiva, então \mathbf{F} é sobrejetiva.
    (c) Para \mathbf{F}:\mathbb{R}^{4}\to\mathbf{P}_{3} linear com \dim(\mathbf{N}_{\mathbf{F}})=1, então \mathbf{F} é sobrejetiva.
    (d) Para \mathbf{F}:\mathbf{P}_{3}\to\mathbb{R}^{3} linear e sobrejetiva, então \mathbf{F} é injetiva.

Passo 2

Vou lembrar e explicar uma ferramenta central que vamos usar em todas as afirmações: o Teorema do Posto-Nulidade (rank-nullity).
  • Enunciado do teorema: se \mathbf{F}:V\to W é uma aplicação linear entre espaços vetoriais de dimensão finita, então vale
\dim(\mathbf{I}_{\mathbf{F}})+\dim(\mathbf{N}_{\mathbf{F}})=\dim(V).
  • O que cada coisa significa:
    • \dim(\mathbf{I}_{\mathbf{F}}) é o posto (rank) de \mathbf{F}, o número de vetores linearmente independentes na imagem.
    • \dim(\mathbf{N}_{\mathbf{F}}) é a dimensão do núcleo, o número de graus de liberdade dos vetores que vão para zero.
    • \dim(V) é a dimensão do espaço de partida (domínio).
  • Intuição rápida: uma base de V pode ser particionada em vetores que geram o núcleo (que não contribuem para a imagem) e vetores que, quando aplicados por \mathbf{F}, geram a imagem. O número total é a soma dessas dimensões.
  • Consequências práticas que vamos usar:
    • Se \mathbf{F} é injetiva então \dim(\mathbf{N}_{\mathbf{F}})=0 e \dim(\mathbf{I}_{\mathbf{F}})=\dim(V).
    • Se \mathbf{F} é sobrejetiva então \dim(\mathbf{I}_{\mathbf{F}})=\dim(W).
    • Sempre \dim(\mathbf{I}_{\mathbf{F}})\le\min(\dim(V),\dim(W)).

Passo 3

Afirmativa (a): “Se \mathbf{F}: \mathbf{P}_{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} é linear então \dim(\mathbf{I}_{\mathbf{F}})+\dim(\mathbf{N}_{\mathbf{F}})=3.”
  • Pelo teorema do posto-nulidade, para qualquer \mathbf{F}:V\to W temos
\dim(\mathbf{I}_{\mathbf{F}})+\dim(\mathbf{N}_{\mathbf{F}})=\dim(V).
  • Aqui o domínio é V=\mathbf{P}_{3}, e já identifiquei que \dim(\mathbf{P}_{3})=4. Logo a relação correta é
\dim(\mathbf{I}_{\mathbf{F}})+\dim(\mathbf{N}_{\mathbf{F}})=4,
e não 3.
  • Portanto a afirmativa que diz que a soma é 3 está errada.
  • Exemplo concreto simples que demonstra a falsidade: a aplicação nula \mathbf{F}(p)=0 para todo p\in\mathbf{P}_{3}. Então \mathbf{I}_{\mathbf{F}}=\{0\} tem dimensão 0 e \mathbf{N}_{\mathbf{F}}=\mathbf{P}_{3} tem dimensão 4. Soma 0+4=4\neq3.
  • Conclusão: (a) é falsa.

Passo 4

Afirmativa (b): “Se \mathbf{F}: \mathbb{R}^{2\times 2} \rightarrow \mathbf{P}_{2} é linear injetiva então \mathbf{F} é sobrejetiva.”
  • Dimensões: \dim(\mathbb{R}^{2\times2})=4 e \dim(\mathbf{P}_{2})=3.
  • Suponha que \mathbf{F} fosse injetiva. Então \dim(\mathbf{N}_{\mathbf{F}})=0 e, pelo posto-nulidade,
\dim(\mathbf{I}_{\mathbf{F}})=\dim(\mathbb{R}^{2\times2})=4.
  • Mas a imagem é subespaço de \mathbf{P}_{2}, então sua dimensão não pode exceder \dim(\mathbf{P}_{2})=3. Ou seja, \dim(\mathbf{I}_{\mathbf{F}})\le 3.
  • Logo não é possível ter \dim(\mathbf{I}_{\mathbf{F}})=4. Conclusão: NÃO existe nenhuma aplicação linear injetiva de \mathbb{R}^{2\times2} em \mathbf{P}_{2}.
  • Agora atenção à lógica da afirmativa: ela afirma um condicional “se injetiva então sobrejetiva”. Como NÃO existe mapa linear que satisfaça a hipótese (injetiva), a implicação é verdadeira de forma vacuamente verdadeira (uma proposição “se P então Q” é verdadeira sempre que P for falsa).
  • Em linguagem mais direta: a hipótese nunca ocorre, portanto não há contraexemplo que viole a implicação; por isso a afirmação é verdadeira (por vacuidade). Mas é importante notar que a situação é trivial porque a injetividade é impossível aqui.
  • Resumo/intuition: injetividade levaria a rank 4 que não cabe no codomínio de dimensão 3; então não existem aplicações injetivas. Portanto a afirmação “se injetiva então sobrejetiva” é verdadeira, porém sem conteúdo prático porque a hipótese é impossível.

Passo 5

Afirmativa (c): “Se \mathbf{F}: \mathbb{R}^{4} \rightarrow \mathbf{P}_{3} é linear e \dim(\mathbf{N}_{\mathbf{F}})=1 então \mathbf{F} é sobrejetiva.”
  • Dimensões: \dim(\mathbb{R}^{4})=4 e \dim(\mathbf{P}_{3})=4.
  • Pelo posto-nulidade:
\dim(\mathbf{I}_{\mathbf{F}})=\dim(\mathbb{R}^{4})-\dim(\mathbf{N}_{\mathbf{F}})=4-1=3.
  • Então a imagem tem dimensão 3. Para ser sobrejetiva seria necessário \dim(\mathbf{I}_{\mathbf{F}})=\dim(\mathbf{P}_{3})=4. Como 3\neq4, \mathbf{F} NÃO é sobrejetiva.
  • Podemos dar um exemplo explícito para visualizar: defina \mathbf{F}:\mathbb{R}^{4}\to\mathbf{P}_{3} por
\mathbf{F}(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})=x_{1}+x_{2}x+x_{3}x^{2}.
  • A imagem consiste dos polinômios que têm coeficiente de x^{3} igual a zero; esse subespaço tem dimensão 3.
  • O núcleo são os vetores com x_{1}=x_{2}=x_{3}=0, ou seja vetores (0,0,0,x_{4}), que formam um subespaço de dimensão 1.
  • Logo \dim(\mathbf{N}_{\mathbf{F}})=1 e \mathbf{F} não é sobrejetiva (polinômios com termo x^{3} não estão na imagem).
  • Conclusão: (c) é falsa.

Passo 6

Afirmativa (d): “Se \mathbf{F}: \mathbf{P}_{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} é linear e surjectiva então \mathbf{F} é injetiva.”
  • Dimensões: \dim(\mathbf{P}_{3})=4 e \dim(\mathbb{R}^{3})=3.
  • Se \mathbf{F} é sobrejetiva, então \dim(\mathbf{I}_{\mathbf{F}})=\dim(\mathbb{R}^{3})=3.
  • Pelo posto-nulidade:
\dim(\mathbf{N}_{\mathbf{F}})=\dim(\mathbf{P}_{3})-\dim(\mathbf{I}_{\mathbf{F}})=4-3=1.
  • Como o núcleo tem dimensão 1, ele contém vetores não-nulos, logo \mathbf{F} não é injetiva.
  • Exemplo explícito: a projeção que manda
a+bx+cx^{2}+dx^{3}\longmapsto (a,b,c)\in\mathbb{R}^{3}
é sobrejetiva (qualquer tripla (a,b,c) aparece), mas seu núcleo é o espaço gerado por x^{3} (polinômios do tipo dx^{3}), de dimensão 1; portanto não é injetiva.
  • Conclusão: (d) é falsa.

Resposta

(a) Falsa
(b) Verdadeira (vacuamente; não existe aplicação linear injetiva \mathbb{R}^{2\times2}\to\mathbf{P}_{2})
(c) Falsa
(d) Falsa

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