Calcule a distância entre os pontos P e Q abaixo:
P=\left(-\frac{4}{3},-1,0\right), Q=\left(-\frac{1}{3}, 0,2\right).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a distância entre os dois pontos no espaço tridimensional. Dados fornecidos (pego diretamente do enunciado):
  • P=\left(-\dfrac{4}{3},-1,0\right)
  • Q=\left(-\dfrac{1}{3},0,2\right)
A pergunta é única: encontrar a distância entre P e Q.

Passo 2

Fórmula que vamos usar (distância entre dois pontos em \mathbb{R}^3). Se
P=(x_1,y_1,z_1),\qquad Q=(x_2,y_2,z_2),
então a distância d(P,Q) é dada por
d(P,Q)=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}.
Explicando a fórmula de forma simples: é a generalização do Teorema de Pitágoras. Em 2D a distância entre pontos é \sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}; em 3D somamos também o quadrado da diferença na coordenada z. Aqui \Delta x=x_2-x_1, \Delta y=y_2-y_1, \Delta z=z_2-z_1.

Passo 3

Calcular as diferenças de coordenadas entre Q e P (faço as contas passo a passo):
\Delta x = x_2-x_1 = -\dfrac{1}{3} -\left(-\dfrac{4}{3}\right) = -\dfrac{1}{3} + \dfrac{4}{3} = \dfrac{3}{3} = 1.
\Delta y = y_2-y_1 = 0 -(-1) = 1.
\Delta z = z_2-z_1 = 2 - 0 = 2.
Portanto o vetor diferença é (\Delta x,\Delta y,\Delta z)=(1,1,2).

Passo 4

Aplicar a fórmula somando os quadrados das diferenças:
d(P,Q)=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2+(\Delta z)^2} =\sqrt{1^2+1^2+2^2} =\sqrt{1+1+4} =\sqrt{6}.

Passo 5

Interpretação rápida e dica para prova: o resultado ficou \sqrt{6}. Se precisar de uma noção numérica aproximada, \sqrt{6}\approx 2{,}449. Sempre que ver frações nas coordenadas, calcule as diferenças com cuidado (como fiz em \Delta x) — muitas provas cobram precisão nessas subtrações.

Resposta

\sqrt{6}

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