11. NÚCLEO E IMAGEM

  1. Determine:
\operatorname{ker}(T)
para:
T(x, y)=(x+y, x-y)
  1. Determine:
\operatorname{Im}(T)
  1. Determine a nulidade.
  2. Determine o posto da transformação.
  3. Verifique o Teorema do Núcleo e Imagem.

Passo 1

O enunciado nos dá a transformação linear T (implícita no espaço padrão) definida por
T(x,y)=(x+y,\;x-y).
As perguntas que precisamos responder são:
  • Determinar \operatorname{ker}(T).
  • Determinar \operatorname{Im}(T).
  • Determinar a nulidade (dimensão do núcleo).
  • Determinar o posto (dimensão da imagem).
  • Verificar o Teorema do Núcleo e Imagem (teorema da nulidade + posto).

Passo 2

O que é \operatorname{ker}(T) e como calculamos: por definição,
\operatorname{ker}(T)=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid T(x,y)=(0,0)\}.
Então devemos resolver o sistema obtido impondo T(x,y)=(0,0). Vou escrever as equações que isso gera.

Passo 3

Impondo T(x,y)=(0,0) obtemos as duas equações
x+y=0, \qquad x-y=0.
Agora resolvemos passo a passo. Somando as duas equações:
(x+y)+(x-y)=0+0 \quad\Rightarrow\quad 2x=0 \quad\Rightarrow\quad x=0.
Substituindo x=0 em x+y=0 vem
0+y=0 \quad\Rightarrow\quad y=0.
Portanto a única solução é (x,y)=(0,0). Concluímos que
\operatorname{ker}(T)=\{(0,0)\}.
Observação didática curta: encontrar o núcleo é sempre resolver T(v)=0. Quando a única solução é o vetor nulo diz-se que o núcleo é trivial.

Passo 4

Para descobrir \operatorname{Im}(T) é útil ver T como multiplicação por matriz na base canônica. A matriz associada (colunas são as imagens dos vetores da base) é
A=\begin{pmatrix}1 & 1 \\[4pt] 1 & -1\end{pmatrix},
porque T(1,0)=(1,1) e T(0,1)=(1,-1). A imagem de T é o subespaço gerado pelas colunas de A, isto é, o span de
v_1=\begin{pmatrix}1\\[2pt]1\end{pmatrix}, \qquad v_2=\begin{pmatrix}1\\[2pt]-1\end{pmatrix}.]

Passo 5

Mostramos que v_1 e v_2 são linearmente independentes (então geram todo \mathbb{R}^2). Suponha que
\alpha v_1+\beta v_2=\begin{pmatrix}0\\[2pt]0\end{pmatrix}.
Isso dá o sistema
\alpha+\beta=0, \qquad \alpha-\beta=0.
Somando as duas: 2\alpha=0\Rightarrow\alpha=0. Então \beta=0. Logo apenas a combinação trivial zera os vetores, isto é, são independentes. Outra via rápida: o determinante de A é
\det(A)=1\cdot(-1)-1\cdot1=-2\neq0,
o que implica que A é invertível e suas colunas formam uma base de \mathbb{R}^2. Assim
\operatorname{Im}(T)=\mathbb{R}^2.]

Passo 6

Agora as dimensões (nulidade e posto). Por definição:
  • nulidade =\dim(\operatorname{ker}(T)).
  • posto =\dim(\operatorname{Im}(T)).
Do Passo 3 vimos que \operatorname{ker}(T)=\{(0,0)\}, cujo espaço tem dimensão
\dim(\operatorname{ker}(T))=0.
Do Passo 5 vimos que \operatorname{Im}(T)=\mathbb{R}^2, cujo espaço tem dimensão
\dim(\operatorname{Im}(T))=2.

Passo 7

Verificação do Teorema do Núcleo e Imagem (Teorema da nulidade + posto): ele afirma que, para uma transformação linear T:V\to W com \dim(V)=n,
\dim(\operatorname{ker}(T))+\dim(\operatorname{Im}(T))=\dim(V).
Aqui V=\mathbb{R}^2 tem \dim(V)=2. Substituindo os valores que encontramos:
0 + 2 = 2,
portanto o teorema está verificado.

Resposta

\operatorname{ker}(T)=\{(0,0)\}
\operatorname{Im}(T)=\mathbb{R}^2
nulidade =0
posto =2
Teorema do Núcleo e Imagem: verificado, 0+2=2

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