11. NÚCLEO E IMAGEM
- Determine:
para:
- Determine:
- Determine a nulidade.
- Determine o posto da transformação.
- Verifique o Teorema do Núcleo e Imagem.
Passo 1
O enunciado nos dá a transformação linear
(implícita no espaço padrão) definida por
As perguntas que precisamos responder são:
- Determinar
. - Determinar
. - Determinar a nulidade (dimensão do núcleo).
- Determinar o posto (dimensão da imagem).
- Verificar o Teorema do Núcleo e Imagem (teorema da nulidade + posto).
Passo 2
O que é
e como calculamos: por definição,
Então devemos resolver o sistema obtido impondo
. Vou escrever as equações que isso gera.
Passo 3
Impondo
obtemos as duas equações
Agora resolvemos passo a passo. Somando as duas equações:
Substituindo
em
vem
Portanto a única solução é
. Concluímos que
Observação didática curta: encontrar o núcleo é sempre resolver
. Quando a única solução é o vetor nulo diz-se que o núcleo é trivial.
Passo 4
Para descobrir
é útil ver
como multiplicação por matriz na base canônica. A matriz associada (colunas são as imagens dos vetores da base) é
porque
e
. A imagem de
é o subespaço gerado pelas colunas de
, isto é, o span de
Passo 5
Mostramos que
e
são linearmente independentes (então geram todo
). Suponha que
Isso dá o sistema
Somando as duas:
. Então
. Logo apenas a combinação trivial zera os vetores, isto é, são independentes. Outra via rápida: o determinante de
é
o que implica que
é invertível e suas colunas formam uma base de
. Assim
Passo 6
Agora as dimensões (nulidade e posto). Por definição:
- nulidade
. - posto
.
Do Passo 3 vimos que
, cujo espaço tem dimensão
Do Passo 5 vimos que
, cujo espaço tem dimensão
Passo 7
Verificação do Teorema do Núcleo e Imagem (Teorema da nulidade + posto): ele afirma que, para uma transformação linear
com
,
Aqui
tem
. Substituindo os valores que encontramos:
portanto o teorema está verificado.
Resposta
nulidade
posto
Teorema do Núcleo e Imagem: verificado,