Calcule a distância entre os pontos A e B e, em seguida, determine um plano perpendicular ao vetor \overline{A B} que passa por A.
A(2,-1,3), \quad B(-1,4,2) .

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Calcular a distância entre os pontos A e B.
  • Determinar um plano que passe por A e seja perpendicular ao vetor \overline{AB}.
Informações dadas (coordenadas dos pontos):
  • A(2,-1,3).
  • B(-1,4,2).

Passo 2

Encontrar o vetor que vai de A a B.
Definição útil: o vetor \overrightarrow{AB} é obtido subtraindo as coordenadas de A das de B, componente a componente:
\overrightarrow{AB}=B-A.
Aplicando isso:
\overrightarrow{AB}=(-1-2,\;4-(-1),\;2-3).

Passo 3

Calcular as componentes de \overrightarrow{AB}. Fazendo as subtrações:
\overrightarrow{AB}=(-3,\;5,\;-1).
Explicação rápida: cada componente representa a diferença na direção x, y e z entre B e A.

Passo 4

Como calcular a distância entre dois pontos no espaço?
Fórmula (norma euclidiana): para dois pontos A e B,
d(A,B)=\|\overrightarrow{AB}\|=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2+(\Delta z)^2},
onde \Delta x, \Delta y, \Delta z são as componentes de \overrightarrow{AB}. Essa fórmula vem diretamente do teorema de Pitágoras aplicado em 3D.

Passo 5

Aplicar a fórmula com as componentes que encontramos \overrightarrow{AB}=(-3,5,-1):
d(A,B)=\sqrt{(-3)^2+5^2+(-1)^2}.
Calcule cada termo:
(-3)^2=9,\qquad 5^2=25,\qquad (-1)^2=1.
Somando:
9+25+1=35.
Portanto a expressão fica
d(A,B)=\sqrt{35}.
(se desejar uma aproximação decimal, \sqrt{35}\approx 5,916).

Passo 6

Agora determinar um plano que passe por A e seja perpendicular a \overrightarrow{AB}.
Ideia: um plano é perpendicular a um vetor quando esse vetor é normal ao plano. Ou seja, podemos usar \overrightarrow{AB} como vetor normal \mathbf{n} do plano.

Passo 7

Forma ponto-normal do plano: se \mathbf{n}=(n_1,n_2,n_3) é um vetor normal e P_0(x_0,y_0,z_0) é um ponto no plano, a equação do plano é
\mathbf{n}\cdot (x-x_0,\;y-y_0,\;z-z_0)=0.
Aqui \mathbf{n}\cdot denota o produto escalar (dot product). Explicando o produto escalar: para \mathbf{u}=(u_1,u_2,u_3) e \mathbf{v}=(v_1,v_2,v_3),
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3.
O produto escalar sendo zero significa que os vetores são perpendiculares.

Passo 8

Usar \mathbf{n}=\overrightarrow{AB}=(-3,5,-1) e o ponto A(2,-1,3) na forma ponto-normal:
(-3,5,-1)\cdot(x-2,\;y+1,\;z-3)=0.
Fazendo o produto escalar:
-3(x-2)+5(y+1)-1(z-3)=0.

Passo 9

Desenvolver e simplificar a equação:
-3x+6+5y+5-z+3=0.
Somando os termos constantes:
-3x+5y-z+14=0.
Multiplicando por -1 para ficar com coeficientes mais simples:
3x-5y+z-14=0.
Esta é uma equação cartesiana do plano pedido. Verificação rápida: substituindo as coordenadas de A,
3\cdot2-5\cdot(-1)+3-14=6+5+3-14=0,
logo A está no plano, e como o vetor normal é \overrightarrow{AB}, o plano é perpendicular a \overrightarrow{AB}.

Passo 10

(Mensagem motivadora curta) Beleza — fizemos passo a passo: primeiro achamos o vetor entre os pontos, depois a distância pelo comprimento desse vetor, e finalmente usamos esse vetor como normal para escrever a equação do plano. Tá indo bem — só revisar esses passos rápidos antes da prova!

Resposta

\sqrt{35}
3x-5y+z-14=0

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