Determine a reta interseçiōo \pi_{1} \cap \pi_{2}.
Passo 1
O enunciado nos dá duas equações de planos e pede a reta interseção entre eles. Os dados são:
Plano \pi_{1}: 2x - y + 2z - 3 = 0,
ou seja 2x - y + 2z = 3.
Plano \pi_{2}: 2x + y - z + 1 = 0,
ou seja 2x + y - z = -1.
O que se pede: determinar a reta \pi_{1}\cap\pi_{2} — isto é, dar uma equação paramétrica e/ou simétrica da reta interseção.
Passo 2
Ideia geral (explicação didática, passo a passo do que vamos usar).
Cada plano tem um vetor normal. O vetor normal de um plano dá a direção perpendicular ao plano. Se os vetores normais dos dois planos são \mathbf{n}_1 e \mathbf{n}_2, então a reta de interseção é paralela a um vetor que é perpendicular a ambos \mathbf{n}_1 e \mathbf{n}_2. O produto vetorial (cross product) fornece exatamente um vetor perpendicular a dois vetores: \mathbf{v}=\mathbf{n}_1\times\mathbf{n}_2.
Depois de achar esse vetor diretor \mathbf{v}, precisamos de um ponto que pertença a ambos os planos (um ponto particular) para montar a equação paramétrica da reta.
Para achar um ponto em comum, podemos escolher um valor conveniente para uma das coordenadas (por exemplo z=0) e resolver o sistema linear em x e y. Se esse valor escolhido não der solução, tentamos outro; aqui z=0 funciona bem.
Explicando o produto vetorial (curta aula): se \mathbf{a}=(a_1,a_2,a_3) e \mathbf{b}=(b_1,b_2,b_3), então
Esse é um vetor diretor da reta interseção (qualquer múltiplo não nulo também serve).
Passo 4
Encontrar um ponto particular que satisfaça ambas as equações. Escolho z=0\) (escolha simples e comum em prova).
Substituindo \(z=0\) nas equações dos planos:
\[\begin{cases} 2x - y = 3,\\[4pt] 2x + y = -1. \end{cases}
Somando as duas equações elimina y\]:
\[(2x - y) + (2x + y) = 3 + (-1) \quad\Rightarrow\quad 4x = 2 \quad\Rightarrow\quad x = \tfrac{1}{2}.\]
Substituindo \(x=\tfrac{1}{2} em 2x + y = -1:
2\cdot\tfrac{1}{2} + y = -1 \quad\Rightarrow\quad 1 + y = -1 \quad\Rightarrow\quad y = -2.
Logo o ponto \displaystyle P\!\left(\tfrac{1}{2},-2,0\right) pertence a ambos os planos; é um ponto da reta interseção.]
Passo 5
Montar a equação paramétrica da reta usando o ponto P e o vetor diretor \mathbf{v}.
Se s é o parâmetro, a forma vetorial/paramétrica é
Checagem rápida (sanity check): tomar s=0 dá o ponto \left(\tfrac{1}{2},-2,0\right) — pertence aos planos; tomar s=1 dá \left(-\tfrac{1}{2},4,4\right). Verificando nas equações originais (substituindo) confirma que esses pontos satisfazem ambas as equações, então a reta está correta.