Sejam os planos
\pi_{1}: 2 x-y+2 z-3=0, \quad \pi_{2}: 2 x+y-z+1=0
Determine a reta interseçiōo \pi_{1} \cap \pi_{2}.

Passo 1

O enunciado nos dá duas equações de planos e pede a reta interseção entre eles. Os dados são:
  • Plano \pi_{1}: 2x - y + 2z - 3 = 0,
ou seja 2x - y + 2z = 3.
  • Plano \pi_{2}: 2x + y - z + 1 = 0,
ou seja 2x + y - z = -1.
O que se pede: determinar a reta \pi_{1}\cap\pi_{2} — isto é, dar uma equação paramétrica e/ou simétrica da reta interseção.

Passo 2

Ideia geral (explicação didática, passo a passo do que vamos usar).
  • Cada plano tem um vetor normal. O vetor normal de um plano dá a direção perpendicular ao plano. Se os vetores normais dos dois planos são \mathbf{n}_1 e \mathbf{n}_2, então a reta de interseção é paralela a um vetor que é perpendicular a ambos \mathbf{n}_1 e \mathbf{n}_2. O produto vetorial (cross product) fornece exatamente um vetor perpendicular a dois vetores: \mathbf{v}=\mathbf{n}_1\times\mathbf{n}_2.
  • Depois de achar esse vetor diretor \mathbf{v}, precisamos de um ponto que pertença a ambos os planos (um ponto particular) para montar a equação paramétrica da reta.
  • Para achar um ponto em comum, podemos escolher um valor conveniente para uma das coordenadas (por exemplo z=0) e resolver o sistema linear em x e y. Se esse valor escolhido não der solução, tentamos outro; aqui z=0 funciona bem.
Explicando o produto vetorial (curta aula): se \mathbf{a}=(a_1,a_2,a_3) e \mathbf{b}=(b_1,b_2,b_3), então
\mathbf{a}\times\mathbf{b}=\bigl(a_2 b_3 - a_3 b_2,\; a_3 b_1 - a_1 b_3,\; a_1 b_2 - a_2 b_1\bigr).
Esse vetor é perpendicular a \mathbf{a} e a \mathbf{b}.

Passo 3

Obter os vetores normais dos planos.
  • Para \pi_{1} a forma geral é 2x - y + 2z - 3 = 0. O vetor normal é \mathbf{n}_1=(2,-1,2).
  • Para \pi_{2} a forma geral é 2x + y - z + 1 = 0. O vetor normal é \mathbf{n}_2=(2,1,-1).
Agora calculamos o produto vetorial \mathbf{v}=\mathbf{n}_1\times\mathbf{n}_2. Usando a fórmula:
\mathbf{v}=\bigl((-1)\cdot(-1)-2\cdot1,\; 2\cdot2-2\cdot(-1),\; 2\cdot1-(-1)\cdot2\bigr).
Calcule cada componente:
  • primeira componente: (-1)\cdot(-1)-2\cdot1 = 1-2 = -1,
  • segunda componente: 2\cdot(-1?) — cuidado: aplicar corretamente a fórmula: segunda componente é a_3 b_1 - a_1 b_3 = 2\cdot2 - 2\cdot(-1) = 4 + 2 = 6,
  • terceira componente: a_1 b_2 - a_2 b_1 = 2\cdot1 - (-1)\cdot2 = 2 + 2 = 4.
Portanto
\mathbf{v}=(-1,\,6,\,4).
Esse é um vetor diretor da reta interseção (qualquer múltiplo não nulo também serve).

Passo 4

Encontrar um ponto particular que satisfaça ambas as equações. Escolho z=0\) (escolha simples e comum em prova). Substituindo \(z=0\) nas equações dos planos: \[\begin{cases} 2x - y = 3,\\[4pt] 2x + y = -1. \end{cases}
Somando as duas equações elimina y\]: \[(2x - y) + (2x + y) = 3 + (-1) \quad\Rightarrow\quad 4x = 2 \quad\Rightarrow\quad x = \tfrac{1}{2}.\] Substituindo \(x=\tfrac{1}{2} em 2x + y = -1:
2\cdot\tfrac{1}{2} + y = -1 \quad\Rightarrow\quad 1 + y = -1 \quad\Rightarrow\quad y = -2.
Logo o ponto \displaystyle P\!\left(\tfrac{1}{2},-2,0\right) pertence a ambos os planos; é um ponto da reta interseção.]

Passo 5

Montar a equação paramétrica da reta usando o ponto P e o vetor diretor \mathbf{v}.
Se s é o parâmetro, a forma vetorial/paramétrica é
\mathbf{r}(s)=\left(\tfrac{1}{2},-2,0\right)+s(-1,6,4).
Escrevendo coordenada a coordenada:
\begin{cases} x(s)=\tfrac{1}{2}-s,\\[4pt] y(s)=-2+6s,\\[4pt] z(s)=0+4s=4s. \end{cases}]

Passo 6

Obter a forma simétrica (opcional, muito usada em provas). Das paramétricas isolamos s:
s=\tfrac{1}{2}-x,\qquad s=\tfrac{y+2}{6},\qquad s=\tfrac{z}{4}.
Igualando, uma forma simétrica é
\frac{x-\tfrac{1}{2}}{-1}=\frac{y+2}{6}=\frac{z}{4}.
Essa é a mesma reta, escrita de modo simétrico.

Passo 7

Checagem rápida (sanity check): tomar s=0 dá o ponto \left(\tfrac{1}{2},-2,0\right) — pertence aos planos; tomar s=1 \left(-\tfrac{1}{2},4,4\right). Verificando nas equações originais (substituindo) confirma que esses pontos satisfazem ambas as equações, então a reta está correta.

Resposta

Equação paramétrica: \mathbf{r}(s)=\left(\tfrac{1}{2},-2,0\right)+s(-1,6,4),\quad s\in\mathbb{R}.
Forma simétrica: \frac{x-\tfrac{1}{2}}{-1}=\frac{y+2}{6}=\frac{z}{4}.

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