Calcule a divergência de cada um dos campos vetoriais para os pontos indicados:
\overrightarrow{\mathrm{D}}=[(\operatorname{sen} \theta) / \mathrm{r}] \overrightarrow{\mathrm{a}}_{\mathrm{r}}+\{\cos \theta(\ln \mathrm{r})] / \mathrm{r}\} \overrightarrow{\mathrm{a}}_{\theta}, \mathrm{P}_{\mathrm{C}}\left(2, \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right).

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Campo vetorial dado: \overrightarrow{\mathrm{D}} = \dfrac{\sin\theta}{r}\,\overrightarrow{a}_r + \dfrac{\cos\theta\,\ln r}{r}\,\overrightarrow{a}_\theta.
  • Ponto indicado (em coordenadas cilíndricas): P_C = \bigl(2,\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\bigr). Aqui o primeiro componente é r=2, o segundo é \theta=\tfrac{\pi}{2} e o terceiro é z=\tfrac{\pi}{2}.
  • O que se pede: calcular a divergência do campo \overrightarrow{\mathrm{D}} no ponto P_C.

Passo 2

Escolha do método e fórmula que vamos usar.
  • Estamos em coordenadas cilíndricas (r,\theta,z) com componentes nas direções \overrightarrow{a}_r,\overrightarrow{a}_\theta,\overrightarrow{a}_z. A divergência de um campo \overrightarrow{F}=F_r\overrightarrow{a}_r+F_\theta\overrightarrow{a}_\theta+F_z\overrightarrow{a}_z em coordenadas cilíndricas é dada por
\operatorname{div}\overrightarrow{F}=\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\bigl(rF_r\bigr)+\frac{1}{r}\frac{\partial F_\theta}{\partial\theta}+\frac{\partial F_z}{\partial z}.
  • Explicando cada termo: \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}(rF_r) mede a variação radial corrigida pelo fator r (por causa da geometria cilíndrica); \frac{1}{r}\frac{\partial F_\theta}{\partial\theta} mede a variação angular; \frac{\partial F_z}{\partial z} mede a variação ao longo do eixo z.
  • Vamos aplicar essa fórmula ao campo \overrightarrow{\mathrm{D}}.

Passo 3

Identificar as componentes do campo \overrightarrow{\mathrm{D}}.
  • Compara-se com a forma geral e obtemos:
F_r=\frac{\sin\theta}{r},\qquad F_\theta=\frac{\cos\theta\,\ln r}{r},\qquad F_z=0.
  • Observação: F_r e F_\theta dependem de r e \theta, e F_z é identicamente zero (não depende de z).

Passo 4

Calcular o primeiro termo \dfrac{1}{r}\dfrac{\partial}{\partial r}\bigl(rF_r\bigr).
  • Primeiro calcule rF_r:
rF_r = r\cdot\frac{\sin\theta}{r}=\sin\theta.
  • Agora a derivada parcial em relação a r de \sin\theta (tratando \theta como constante ao derivar em r) é zero:
\frac{\partial}{\partial r}\bigl(rF_r\bigr)=\frac{\partial}{\partial r}(\sin\theta)=0.
  • Portanto o primeiro termo é
\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\bigl(rF_r\bigr)=\frac{1}{r}\cdot 0 = 0.

Passo 5

Calcular o segundo termo \dfrac{1}{r}\dfrac{\partial F_\theta}{\partial\theta}.
  • Diferenciando F_\theta em relação a \theta, lembrando que \ln r e r são constantes quando se deriva em \theta:
\frac{\partial F_\theta}{\partial\theta}=\frac{\partial}{\partial\theta}\!\left(\frac{\cos\theta\;\ln r}{r}\right)=\frac{\ln r}{r}\cdot\frac{d}{d\theta}(\cos\theta)=\frac{\ln r}{r}\cdot(-\sin\theta).
  • Então o segundo termo vale
\frac{1}{r}\frac{\partial F_\theta}{\partial\theta}=\frac{1}{r}\cdot\left(-\frac{\ln r}{r}\sin\theta\right)=-\frac{\ln r\;\sin\theta}{r^2}.

Passo 6

Calcular o terceiro termo \dfrac{\partial F_z}{\partial z}.
  • Como F_z=0 para todo ponto, tem-se
\frac{\partial F_z}{\partial z}=0.

Passo 7

Somar os três termos para obter a expressão geral da divergência e preparar a avaliação no ponto.
  • Soma dos termos:
\operatorname{div}\overrightarrow{\mathrm{D}} = 0 \;+\; \left(-\frac{\ln r\;\sin\theta}{r^2}\right)\;+\;0 = -\frac{\ln r\;\sin\theta}{r^2}.
  • Para obter o valor no ponto P_C substitui-se r=2 e \theta=\tfrac{\pi}{2}. O resultado numérico final será apresentado na seção de resposta.

Resposta

-\dfrac{\ln 2}{4}

Exercícios relacionados