Calcule a divergência de cada um dos campos vetoriais para os pontos indicados:
.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Campo vetorial dado:
- Ponto indicado (em coordenadas cilíndricas):
. Aqui o primeiro componente é , o segundo é e o terceiro é . - O que se pede: calcular a divergência do campo
no ponto .
Passo 2
Escolha do método e fórmula que vamos usar.
- Estamos em coordenadas cilíndricas
com componentes nas direções . A divergência de um campo em coordenadas cilíndricas é dada por
- Explicando cada termo:
mede a variação radial corrigida pelo fator (por causa da geometria cilíndrica); mede a variação angular; mede a variação ao longo do eixo . - Vamos aplicar essa fórmula ao campo
.
Passo 3
Identificar as componentes do campo
.
- Compara-se com a forma geral e obtemos:
- Observação:
e dependem de e , e é identicamente zero (não depende de ).
Passo 4
Calcular o primeiro termo
.
- Primeiro calcule
:
- Agora a derivada parcial em relação a
de (tratando como constante ao derivar em ) é zero:
- Portanto o primeiro termo é
Passo 5
Calcular o segundo termo
.
- Diferenciando
em relação a , lembrando que e são constantes quando se deriva em :
- Então o segundo termo vale
Passo 6
Calcular o terceiro termo
.
- Como
para todo ponto, tem-se
Passo 7
Somar os três termos para obter a expressão geral da divergência e preparar a avaliação no ponto.
- Soma dos termos:
- Para obter o valor no ponto
substitui-se e . O resultado numérico final será apresentado na seção de resposta.