Efetue ambos os lados do teorema da divergência para o campo \overrightarrow{\mathrm{G}}=2 \rho^{2}\left(\cos 5 \varphi \overrightarrow{\mathrm{a}}_{\rho}-\operatorname{sen} 5 \varphi \overrightarrow{\mathrm{a}}_{\varphi}+\overrightarrow{\mathrm{a}}_{\mathrm{z}}\right) e a região em forma de cunha limitada por \rho \leq 5, 0 \leq \varphi \leq 0,1 \pi, 0 \leq \mathrm{z} \leq 10.

Passo 1

Vou deixar bem claro o que o enunciado dá e o que é pedido, pegando todos os dados do enunciado sem assumir nada a mais.
  • Campo vetorial dado em coordenadas cilíndricas:
\overrightarrow{G}=2\,\rho^{2}\big(\cos 5\varphi\,\overrightarrow{a}_{\rho}-\sin 5\varphi\,\overrightarrow{a}_{\varphi}+\overrightarrow{a}_{z}\big).
  • Região V (cunha) descrita por:
    • \,0\le \rho\le 5,
    • \,0\le \varphi\le 0{,}1\pi=\dfrac{\pi}{10},
    • \,0\le z\le 10.
O que o enunciado pede:
  • Aplicar o Teorema da Divergência (Gauss) e calcular ambos os lados:
    1. A integral de volume do divergente \displaystyle \iiint_{V} (\nabla\cdot\overrightarrow{G})\,dV.
    2. O fluxo total pela superfície fechada que limita V, isto é \displaystyle \iint_{\partial V} \overrightarrow{G}\cdot d\overrightarrow{S}.

Passo 2

Lembrete e fórmula importante (explicando tudo devagarinho):
  • Teorema da Divergência diz que, para uma região fechada V com superfície \partial V orientada para fora,
\iiint_{V} (\nabla\cdot\overrightarrow{G})\,dV=\iint_{\partial V}\overrightarrow{G}\cdot d\overrightarrow{S}.
Isto é, a integral do divergente sobre o volume é igual ao fluxo total saindo pela superfície.
  • Para trabalhar em coordenadas cilíndricas os elementos e fórmulas relevantes:
    • As componentes do campo são A_{\rho},A_{\varphi},A_{z} quando se escreve \overrightarrow{G}=A_{\rho}\,\overrightarrow{a}_{\rho}+A_{\varphi}\,\overrightarrow{a}_{\varphi}+A_{z}\,\overrightarrow{a}_{z}.
    • Divergente em coordenadas cilíndricas:
    \nabla\cdot\overrightarrow{A}=\frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial\rho}\big(\rho A_{\rho}\big)+\frac{1}{\rho}\frac{\partial A_{\varphi}}{\partial\varphi}+\frac{\partial A_{z}}{\partial z}.Aqui:
    • \rho é a coordenada radial (distância ao eixo z),
    • \varphi é o ângulo azimutal,
    • z é a altura.
    • Elemento de volume em cilíndricas:
    dV=\rho\,d\rho\,d\varphi\,dz.
    • Superfícies que aparecem para a cunha:
      • Superfície lateral \rho=5: vetor normal externo \overrightarrow{a}_{\rho}; elemento de área dS=\rho\,d\varphi\,dz com \rho=5.
      • Faces radiais \varphi= constante: vetor normal é \pm\overrightarrow{a}_{\varphi}; elemento de área dS=d\rho\,dz (observe: NÃO entra fator \rho aqui porque as direções são \rho e z).
      • Faces superior/inferior z= constante: normal \pm\overrightarrow{a}_{z}; elemento de área dS=\rho\,d\rho\,d\varphi.

Passo 3

Identificar as componentes do campo para usar nas fórmulas:
A_{\rho}=2\rho^{2}\cos 5\varphi,\qquad A_{\varphi}=-2\rho^{2}\sin 5\varphi,\qquad A_{z}=2\rho^{2}.

Passo 4

Calcular o divergente \nabla\cdot\overrightarrow{G} passo a passo usando a fórmula cilíndrica.
Primeiro termo:
\frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial\rho}\big(\rho A_{\rho}\big) =\frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial\rho}\big(\rho\cdot 2\rho^{2}\cos 5\varphi\big) =\frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial\rho}\big(2\rho^{3}\cos 5\varphi\big).
Derivando em \rho:
\frac{\partial}{\partial\rho}\big(2\rho^{3}\cos 5\varphi\big)=6\rho^{2}\cos 5\varphi,
então
\frac{1}{\rho}\cdot 6\rho^{2}\cos 5\varphi=6\rho\cos 5\varphi.
Segundo termo:
\frac{1}{\rho}\frac{\partial A_{\varphi}}{\partial\varphi} =\frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial\varphi}\big(-2\rho^{2}\sin 5\varphi\big) =\frac{1}{\rho}\big(-2\rho^{2}\cdot 5\cos 5\varphi\big) =-10\rho\cos 5\varphi.
Terceiro termo:
\frac{\partial A_{z}}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}\big(2\rho^{2}\big)=0
porque 2\rho^{2} não depende de z.
Somando:
\nabla\cdot\overrightarrow{G}=6\rho\cos 5\varphi-10\rho\cos 5\varphi+0=-4\rho\cos 5\varphi.

Passo 5

Calcular a integral de volume do divergente:
\iiint_{V}(\nabla\cdot\overrightarrow{G})\,dV =\int_{z=0}^{10}\int_{\varphi=0}^{\pi/10}\int_{\rho=0}^{5}\big(-4\rho\cos 5\varphi\big)\,\rho\,d\rho\,d\varphi\,dz.
Multiplico -4\rho\cos5\varphi por dV=\rho\,d\rho\,d\varphi\,dz obtendo o integrando -4\rho^{2}\cos5\varphi.
Fazer as integrais em ordem conveniente:
Integral em \rho:
\int_{0}^{5}-4\rho^{2}\,d\rho=-4\cdot\frac{\rho^{3}}{3}\Big|_{0}^{5}=-4\cdot\frac{125}{3}=-\frac{500}{3}.
Integral em \varphi:
\int_{0}^{\pi/10}\cos 5\varphi\,d\varphi=\frac{1}{5}\sin 5\varphi\Big|_{0}^{\pi/10}=\frac{1}{5}\sin\frac{\pi}{2}=\frac{1}{5}.
Integral em z: \int_{0}^{10}dz=10.
Multiplicando tudo:
\iiint_{V}(\nabla\cdot\overrightarrow{G})\,dV =10\cdot\frac{1}{5}\cdot\Big(-\frac{500}{3}\Big)=-\frac{1000}{3}.
Portanto o lado do volume vale -\dfrac{1000}{3}.

Passo 6

Agora vamos calcular o fluxo pela superfície fechada \partial V. A superfície é a união de cinco partes:
  1. Superfície lateral cilíndrica \rho=5,
  2. Face radial em \varphi=\dfrac{\pi}{10},
  3. Face radial em \varphi=0,
  4. Face superior z=10,
  5. Face inferior z=0.
Vou calcular o fluxo em cada parte e somar (lembre-se de sempre usar o sentido externo à região).

Passo 7

Fluxo pela superfície lateral \rho=5.
  • Normal externo é \overrightarrow{a}_{\rho}.
  • \overrightarrow{G}\cdot\overrightarrow{a}_{\rho}=A_{\rho}=2\rho^{2}\cos 5\varphi.
  • Elemento de área: dS=\rho\,d\varphi\,dz com \rho=5.
Fluxo:
\Phi_{\rho=5}=\int_{z=0}^{10}\int_{\varphi=0}^{\pi/10}A_{\rho}(\rho=5)\,\rho\,d\varphi\,dz =\int_{0}^{10}\int_{0}^{\pi/10} \big(2\cdot 5^{2}\cos 5\varphi\big)\cdot 5\,d\varphi\,dz.
Calcular constants: 2\cdot 5^{2}\cdot 5=2\cdot 25\cdot 5=250. Assim
\Phi_{\rho=5}=250\int_{0}^{10}\int_{0}^{\pi/10}\cos 5\varphi\,d\varphi\,dz =250\cdot 10\cdot\frac{1}{5}=250\cdot 2=500.

Passo 8

Fluxo pela face radial \varphi=\dfrac{\pi}{10}.
  • Nesta face o vetor normal externo aponta para o lado de \varphi crescente, ou seja \overrightarrow{a}_{\varphi}.
  • Produto escalar \overrightarrow{G}\cdot\overrightarrow{a}_{\varphi}=A_{\varphi}=-2\rho^{2}\sin 5\varphi.
  • Avaliar em \varphi=\dfrac{\pi}{10}: \sin(5\varphi)=\sin(\pi/2)=1, logo A_{\varphi}=-2\rho^{2}.
  • Elemento de área nesta face (plano \varphi= constante) é dS=d\rho\,dz. (Importante: aqui NÃO entra fator \rho.)
Fluxo:
\Phi_{\varphi=\pi/10}=\int_{z=0}^{10}\int_{\rho=0}^{5} A_{\varphi}(\varphi=\pi/10)\,d\rho\,dz =\int_{0}^{10}\int_{0}^{5}(-2\rho^{2})\,d\rho\,dz.
Integral em \rho:
\int_{0}^{5}-2\rho^{2}\,d\rho=-2\cdot\frac{\rho^{3}}{3}\Big|_{0}^{5}=-2\cdot\frac{125}{3}=-\frac{250}{3}.
Multiplicando pelo fator em z (10):
\Phi_{\varphi=\pi/10}=-\frac{250}{3}\cdot 10=-\frac{2500}{3}.

Passo 9

Fluxo pela face radial \varphi=0.
  • Normal externo aponta para -\overrightarrow{a}_{\varphi} (porque para sair da região pelo lado \varphi=0 diminui-se \varphi).
  • Avaliando A_{\varphi} em \varphi=0: A_{\varphi}=-2\rho^{2}\sin 0=0.
  • Logo \overrightarrow{G}\cdot(\text{normal})=0 em toda essa face, assim
\Phi_{\varphi=0}=0.

Passo 10

Fluxo pela face superior z=10 e inferior z=0.
  • Para z= constante, normal é \pm\overrightarrow{a}_{z}. Produto escalar com \overrightarrow{G} A_{z}=2\rho^{2}.
  • Elemento de área em z= const é dS=\rho\,d\rho\,d\varphi.
Face superior z=10 (normal externo +\overrightarrow{a}_{z}):
\Phi_{z=10}=\int_{\varphi=0}^{\pi/10}\int_{\rho=0}^{5} A_{z}\,\rho\,d\rho\,d\varphi =\int_{0}^{\pi/10}\int_{0}^{5} 2\rho^{2}\cdot\rho\,d\rho\,d\varphi =\int_{0}^{\pi/10}\int_{0}^{5}2\rho^{3}\,d\rho\,d\varphi.
Calcular \rho-integral:
\int_{0}^{5}2\rho^{3}\,d\rho=2\cdot\frac{\rho^{4}}{4}\Big|_{0}^{5}=\frac{5^{4}}{2}=\frac{625}{2}.
Então
\Phi_{z=10}=\frac{625}{2}\cdot\frac{\pi}{10}=\frac{625\pi}{20}=\frac{125\pi}{4}.
Face inferior z=0 (normal externo é -\overrightarrow{a}_{z}):
\Phi_{z=0}=-\int_{0}^{\pi/10}\int_{0}^{5}2\rho^{3}\,d\rho\,d\varphi=-\frac{125\pi}{4}.
Portanto \Phi_{z=10}+\Phi_{z=0}=0 (elas se cancelam).

Passo 11

Somar todos os fluxos das superfícies para obter o fluxo total:
\Phi_{\text{total}}=\Phi_{\rho=5}+\Phi_{\varphi=\pi/10}+\Phi_{\varphi=0}+\Phi_{z=10}+\Phi_{z=0}.
Substituindo os valores calculados:
\Phi_{\text{total}}=500+ \Big(-\frac{2500}{3}\Big)+0+\frac{125\pi}{4}-\frac{125\pi}{4}.
As parcelas com \pi cancelam, então
\Phi_{\text{total}}=500-\frac{2500}{3}=\frac{1500-2500}{3}=-\frac{1000}{3}.

Passo 12

Conclusão: os dois lados do Teorema da Divergência conferem e valem o mesmo número:
\iiint_{V}(\nabla\cdot\overrightarrow{G})\,dV=\iint_{\partial V}\overrightarrow{G}\cdot d\overrightarrow{S}=-\frac{1000}{3}.

Resposta

\displaystyle \iiint_{V}(\nabla\cdot\overrightarrow{G})\,dV=-\dfrac{1000}{3}\n
\displaystyle \iint_{\partial V}\overrightarrow{G}\cdot d\overrightarrow{S}=-\dfrac{1000}{3}

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