Efetue ambos os lados do teorema da divergência para o campo \overrightarrow{\mathrm{G}}=2 \rho^{2}\left(\cos 5 \varphi \overrightarrow{\mathrm{a}}_{\rho}-\operatorname{sen} 5 \varphi \overrightarrow{\mathrm{a}}_{\varphi}+\overrightarrow{\mathrm{a}}_{\mathrm{z}}\right) e a região em forma de cunha limitada por \rho \leq 5, 0 \leq \varphi \leq 0,1 \pi, 0 \leq \mathrm{z} \leq 10.
Passo 1
Vou deixar bem claro o que o enunciado dá e o que é pedido, pegando todos os dados do enunciado sem assumir nada a mais.
Isto é, a integral do divergente sobre o volume é igual ao fluxo total saindo pela superfície.
Para trabalhar em coordenadas cilíndricas os elementos e fórmulas relevantes:
As componentes do campo são A_{\rho},A_{\varphi},A_{z} quando se escreve \overrightarrow{G}=A_{\rho}\,\overrightarrow{a}_{\rho}+A_{\varphi}\,\overrightarrow{a}_{\varphi}+A_{z}\,\overrightarrow{a}_{z}.
Superfície lateral \rho=5: vetor normal externo \overrightarrow{a}_{\rho}; elemento de área dS=\rho\,d\varphi\,dz com \rho=5.
Faces radiais \varphi= constante: vetor normal é \pm\overrightarrow{a}_{\varphi}; elemento de área dS=d\rho\,dz (observe: NÃO entra fator \rho aqui porque as direções são \rho e z).
Faces superior/inferior z= constante: normal \pm\overrightarrow{a}_{z}; elemento de área dS=\rho\,d\rho\,d\varphi.
Passo 3
Identificar as componentes do campo para usar nas fórmulas: