Determinar uma expressão para calcular a distância entre dois pontos \mathrm{P}\left(\rho_{1}, \phi_{1}, \mathrm{z}_{1}\right) e Q\left(\rho_{2}, \phi_{2}, z_{2}\right) em função das coordenadas cilíndricas dos pontos.

Passo 1

O que o problema pede e o que é dado:
  • Pede: determinar uma expressão para a distância entre dois pontos em função das suas coordenadas cilíndricas.
  • Dados: dois pontos dados em coordenadas cilíndricas, P\big(\rho_{1},\phi_{1},z_{1}\big) e Q\big(\rho_{2},\phi_{2},z_{2}\big).
  • Objetivo explícito: encontrar uma fórmula que dê a distância euclidiana entre P e Q apenas em termos de \rho_{1},\phi_{1},z_{1},\rho_{2},\phi_{2},z_{2}.

Passo 2

Transformar coordenadas cilíndricas em coordenadas cartesianas (explicando por quê):
  • As coordenadas cilíndricas \big(\rho,\varphi,z\big) representam um ponto no espaço de forma que:
    • \rho é a distância do ponto ao eixo z (plano xy),
    • \varphi é o ângulo polar no plano xy medido a partir do eixo x,
    • z é a mesma coordenada z das coordenadas cartesianas.
  • A relação com as coordenadas cartesianas (x,y,z) é dada por (estas são fórmulas padrão de conversão):
x=\rho\cos\varphi,\qquad y=\rho\sin\varphi,\qquad z=z.
  • Aplicando isso aos dois pontos: o ponto P tem coordenadas cartesianas
x_1=\rho_1\cos\phi_1,\qquad y_1=\rho_1\sin\phi_1,\qquad z_1=z_1,
e Q tem
x_2=\rho_2\cos\phi_2,\qquad y_2=\rho_2\sin\phi_2,\qquad z_2=z_2.

Passo 3

Fórmula da distância em coordenadas cartesianas (por que usar):
  • A distância euclidiana entre dois pontos em \mathbb{R}^3 com coordenadas cartesianas (x_1,y_1,z_1) e (x_2,y_2,z_2) é
d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}.
  • Como já temos as expressões de x_i,y_i,z_i em função de \rho_i,\phi_i,z_i, vamos substituir essas expressões na fórmula acima.

Passo 4

Calcular as diferenças em x e y e montar a soma dos quadrados:
  • As diferenças são
x_2-x_1=\rho_2\cos\phi_2-\rho_1\cos\phi_1,
y_2-y_1=\rho_2\sin\phi_2-\rho_1\sin\phi_1,
z_2-z_1=z_2-z_1.
  • Somando os quadrados das duas primeiras diferenças (parte no plano xy):
(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2
\begin{aligned} &= \big(\rho_2\cos\phi_2-\rho_1\cos\phi_1\big)^2 + \big(\rho_2\sin\phi_2-\rho_1\sin\phi_1\big)^2\\[4pt] &= \rho_2^2\cos^2\phi_2 - 2\rho_1\rho_2\cos\phi_1\cos\phi_2 + \rho_1^2\cos^2\phi_1\\[4pt] &\quad + \rho_2^2\sin^2\phi_2 - 2\rho_1\rho_2\sin\phi_1\sin\phi_2 + \rho_1^2\sin^2\phi_1. \end{aligned}]

Passo 5

Simplificar a expressão no plano xy usando identidade trigonométrica:
  • Agrupando termos com \rho_1^2 e \rho_2^2:
\rho_1^2(\cos^2\phi_1+\sin^2\phi_1)+\rho_2^2(\cos^2\phi_2+\sin^2\phi_2)
que, usando \cos^2\theta+\sin^2\theta=1, vira
\rho_1^2+\rho_2^2.
  • Os termos mistos dão
-2\rho_1\rho_2\big(\cos\phi_1\cos\phi_2+\sin\phi_1\sin\phi_2\big).
  • Usando a identidade trigonométrica
\cos\phi_1\cos\phi_2+\sin\phi_1\sin\phi_2=\cos(\phi_1-\phi_2),
obtemos a simplificação
(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2=\rho_1^2+\rho_2^2-2\rho_1\rho_2\cos(\phi_1-\phi_2).

Passo 6

Montar a expressão para o quadrado da distância e concluir:
  • Somando a contribuição em z obtemos o quadrado da distância:
d^2=\rho_1^2+\rho_2^2-2\rho_1\rho_2\cos(\phi_1-\phi_2)+(z_2-z_1)^2.
  • A distância d é a raiz quadrada de d^2. (Na seção de resposta eu escrevo a forma final da distância.)

Resposta

d=\sqrt{\rho_1^2+\rho_2^2-2\rho_1\rho_2\cos\big(\phi_1-\phi_2\big)+(z_2-z_1)^2}

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