Determinar uma expressão para calcular a distância entre dois pontos
e
em função das coordenadas cilíndricas dos pontos.
Passo 1
O que o problema pede e o que é dado:
- Pede: determinar uma expressão para a distância entre dois pontos em função das suas coordenadas cilíndricas.
- Dados: dois pontos dados em coordenadas cilíndricas,
e . - Objetivo explícito: encontrar uma fórmula que dê a distância euclidiana entre
e apenas em termos de .
Passo 2
Transformar coordenadas cilíndricas em coordenadas cartesianas (explicando por quê):
- As coordenadas cilíndricas
representam um ponto no espaço de forma que: -
é a distância do ponto ao eixo (plano ), -
é o ângulo polar no plano medido a partir do eixo , -
é a mesma coordenada das coordenadas cartesianas.
-
- A relação com as coordenadas cartesianas
é dada por (estas são fórmulas padrão de conversão):
- Aplicando isso aos dois pontos: o ponto
tem coordenadas cartesianas
e
tem
Passo 3
Fórmula da distância em coordenadas cartesianas (por que usar):
- A distância euclidiana entre dois pontos em
com coordenadas cartesianas e é
- Como já temos as expressões de
em função de , vamos substituir essas expressões na fórmula acima.
Passo 4
Calcular as diferenças em
e
e montar a soma dos quadrados:
- As diferenças são
- Somando os quadrados das duas primeiras diferenças (parte no plano
):
Passo 5
Simplificar a expressão no plano
usando identidade trigonométrica:
- Agrupando termos com
e :
que, usando
, vira
- Os termos mistos dão
- Usando a identidade trigonométrica
obtemos a simplificação
Passo 6
Montar a expressão para o quadrado da distância e concluir:
- Somando a contribuição em
obtemos o quadrado da distância:
- A distância
é a raiz quadrada de . (Na seção de resposta eu escrevo a forma final da distância.)