Calcule o divergente e o rotacional das funções a seguir, nos pontos indicados.
\mathbf{F}(x, y, z)=\left(2 y^{3}-8 x z^{2}\right) \mathbf{i}+\left(6 x y^{2}+1\right) \mathbf{j}-\left(8 x^{2} z+3 z^{2}\right) \mathbf{k} \quad em \quad P(1,1,1).

Passo 1

O enunciado pede o divergente e o rotacional do campo vetorial
\mathbf{F}(x,y,z)=(2y^3-8xz^2)\,\mathbf{i}+(6xy^2+1)\,\mathbf{j}-(8x^2z+3z^2)\,\mathbf{k}
no ponto P=(1,1,1). Vamos usar as definições de divergente e rotacional, que envolvem derivadas parciais.

Passo 2

O divergente \nabla\cdot\mathbf{F} é
\nabla\cdot\mathbf{F} =\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z},
onde
P(x,y,z)=2y^3-8xz^2,\quad Q(x,y,z)=6xy^2+1,\quad R(x,y,z)=-8x^2z-3z^2.
Calculando cada parcial:
\frac{\partial P}{\partial x}=-8z^2,\quad \frac{\partial Q}{\partial y}=12xy,\quad \frac{\partial R}{\partial z}=-8x^2-6z.

Passo 3

Somando as parciais obtemos
\nabla\cdot\mathbf{F} = -8z^2 + 12xy -8x^2 -6z.
No ponto P(1,1,1):
\nabla\cdot\mathbf{F}\bigl(1,1,1\bigr) = -8\cdot1^2 +12\cdot1\cdot1 -8\cdot1^2 -6\cdot1 = -8 +12 -8 -6 = -10.

Passo 4

O rotacional \nabla\times\mathbf{F} tem componentes
\nabla\times\mathbf{F} =\Bigl(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z},\; \frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x},\; \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr).
Calculamos as derivadas:
\frac{\partial R}{\partial y}=0,\quad \frac{\partial Q}{\partial z}=0,\quad \frac{\partial P}{\partial z}=-16xz,\quad \frac{\partial R}{\partial x}=-16xz,\quad \frac{\partial Q}{\partial x}=6y^2,\quad \frac{\partial P}{\partial y}=6y^2.

Passo 5

Substituindo,
\nabla\times\mathbf{F} =(0-0,\;-16xz-(-16xz),\;6y^2-6y^2) =(0,0,0).
Em P(1,1,1) permanece (0,0,0).

Resposta

Divergente em P(1,1,1): -10
Rotacional em P(1,1,1): (0,0,0)

Exercícios relacionados