Calcule a energia de ativação para autodifusão no contorno de grão da prata à 600^{\circ} \mathrm{C}, sabendo-se que à 457^{\circ} \mathrm{C} esse coeficiente de difusão é de 3,2.10-12 \mathrm{~m} 2 / \mathrm{s} e de 1,0.10-10 \mathrm{~m} 2 / \mathrm{s} à temperatura de 689^{\circ} \mathrm{C}.

Passo 1

O que o exercício pede: calcular a energia de ativação para autodifusão no contorno de grão da prata (ou seja, Q) usando os dados experimentais fornecidos.
Dados fornecidos:
D(457^\circ\mathrm{C}) = 3{,}2\cdot 10^{-12}\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s}
D(689^\circ\mathrm{C}) = 1{,}0\cdot 10^{-10}\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s}
Temperaturas dadas em Celsius:
457^\circ\mathrm{C},\qquad 689^\circ\mathrm{C}
O resultado pedido: a energia de ativação Q (unidade usual: J/mol ou kJ/mol).

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (aula curta e prática): a difusão térmica normalmente obedece à lei de Arrhenius,
D = D_0 \exp\!\left(-\frac{Q}{R\,T}\right).
Explicando cada símbolo:
  • D é o coeficiente de difusão (m^2/s).
  • D_0 é o fator pré-exponencial (m^2/s), uma constante que não conhecemos aqui.
  • Q é a energia de ativação (J/mol) que queremos achar.
  • R é a constante universal dos gases, R = 8{,}314\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}.
  • T é a temperatura absoluta em kelvin (K).
    A ideia: com dois pares (D_1,T_1) e (D_2,T_2) podemos eliminar D_0 e obter Q.

Passo 3

Derivação prática da fórmula que usaremos: tomando logaritmo natural em ambos os lados e subtraindo as duas equações correspondentes às duas temperaturas, obtemos
\ln\!\left(\frac{D_2}{D_1}\right) = -\frac{Q}{R}\!\left(\frac{1}{T_2}-\frac{1}{T_1}\right).
Rearranjando para Q,
Q = -R\;\frac{\ln\!\left(\dfrac{D_2}{D_1}\right)}{\dfrac{1}{T_2}-\dfrac{1}{T_1}}.
Essa fórmula é a que vamos aplicar diretamente. Observe que o sinal fica consistente porque \ln(D_2/D_1) e (1/T_2-1/T_1) têm sinais opostos quando T_2>T_1 e D_2>D_1.

Passo 4

Converter as temperaturas de Celsius para Kelvin (regra: T(\mathrm{K})=T(^\circ\mathrm{C})+273{,}15):
T_1 = 457^\circ\mathrm{C} + 273{,}15 = 730{,}15\\ \mathrm{K},
T_2 = 689^\circ\mathrm{C} + 273{,}15 = 962{,}15\\ \mathrm{K}.

Passo 5

Calcular a razão dos coeficientes de difusão e seu logaritmo:
\frac{D_2}{D_1}=\frac{1{,}0\cdot 10^{-10}}{3{,}2\cdot 10^{-12}} = 31{,}25,
\ln\!\left(\frac{D_2}{D_1}\right)=\ln(31{,}25)=3{,}442019\\ (\text{aprox.}).

Passo 6

Calcular a diferença dos inversos das temperaturas:
\frac{1}{T_2}-\frac{1}{T_1}=\frac{1}{962{,}15}-\frac{1}{730{,}15} = -0{,}000330268\\ \mathrm{K^{-1}}\\ (\text{aprox.}).

Passo 7

Aplicar a fórmula para Q. Usando R=8{,}314\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}:
Q = -8{,}314\cdot\frac{3{,}442019}{-0{,}000330268} = \frac{8{,}314\times 3{,}442019}{0{,}000330268}.
Calculemos numericamente:
8{,}314\times 3{,}442019 \approx 28{,}61695\\ \mathrm{J/mol\cdot K},
Q \approx \frac{28{,}61695}{0{,}000330268} \approx 86{,}7\times 10^{3}\\ \mathrm{J/mol}.

Passo 8

Expressão em unidade mais comum (kJ/mol):
Q \approx 86{,}7\\ \mathrm{kJ/mol}.
Comentário final curto e motivador: deu trabalho, mas é só aplicar Arrhenius com cuidado nas unidades — você já mata essa na prova. Força!

Resposta

Q \approx 86{,}7\\ \mathrm{kJ/mol}

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