Uma chapa fina de ferro \operatorname{ccc} de 2,0 \mathrm{~mm} de espessura foi exposta a uma atmosfera carbonetante em um de seus lados e descarbonetante do outro. A temperatura do tratamento foi de 675^{\circ} \mathrm{C}. Depois de alcançado o estado estacionário, a chapa foi rapidamente resfriada até a temperatura ambiente. A concentração de carbono determinada em ambos os lados da chapa foi 0,18 e 0,78 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}. Calcule o coeficiente de difusão se o fluxo difusivo foi de 7,36 \times 10^{-9} \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{2}.s. ( R=2,453 \times 10^{-11} \mathrm{~m} 2 / \mathrm{s} )
Espécie difusivel Metal hospedeiro \mathbf{D}_{\mathbf{0}} ( \mathrm{m}^{2} / \mathrm{s} ) Energia de ativação \mathbf{Q}_{\mathbf{D}} Valores calculados
kJ/mol eV/átomo \mathrm{T}\left({ }^{\circ} \mathrm{C}\right) D ( \mathbf{m}^{\mathbf{2}} \boldsymbol{/} \mathbf{s} )
Fe Fe- \alpha (CCC) 2,8 \times 10^{-4} 251 2,60 500 900 3,0 \times 10^{-21} 1,8 \times 10^{-15}
Fe \mathrm{Fe}-\gamma (CFC) 5,0 \times 10^{-5} 284 2,94 900 1100 1,1 \times 10^{-17} 7,8 \times 10^{-16}
C Fe- \alpha 6,2 \times 10^{-7} 80 0,83 500 900 2,4 \times 10^{-12} 1,7 \times 10^{-10}
C \mathrm{Fe}-\gamma 2,3 \times 10^{-5} 148 1,53 900 1100 5,9 \times 10^{-12} 5,3 \times 10^{-11}
Cu Cu 7,8 \times 10^{-5} 211 2,19 500 4,2 \times 10^{-19}
Zn Cu 2,4 \times 10^{-5} 189 1,96 500 4,0 \times 10^{-18}
Al Al 2,3 \times 10^{-4} 144 1,49 500 4,2 \times 10^{-14}
Cu Al 6,5 \times 10^{-5} 136 1,41 500 4,1 \times 10^{-14}
Mg Al 1,2 \times 10^{-4} 131 1,35 500 1.9 \times 10^{-23}
Cu Ni 2,7 \times 10^{-5} 256 2,65 500 1.3 \times 10^{-22}

Passo 1

O que o problema pede: calcular o coeficiente de difusão (D) do carbono na chapa após ter sido atingido o estado estacionário e resfriada rapidamente.
Dados fornecidos (vou listar tudo claramente):
\text{espessura da chapa } L = 2{,}0\\ \text{mm} = 2{,}0\times 10^{-3}\\ \mathrm{m}
\text{concentração de carbono numa face } C_1 = 0{,}18\\ \mathrm{kg/m^{3}}çã
\text{concentração de carbono na outra face } C_2 = 0{,}78\\ \mathrm{kg/m^{3}}çã
\text{fluxo difusivo (módulo)}\\ J = 7{,}36\times 10^{-9}\\ \mathrm{kg/(m^{2}\cdot s)}ó
Também o enunciado deu um valor de referência
R = 2{,}453\times 10^{-11}\\ \mathrm{m^{2}/s}
(aparentemente é o valor esperado para D; vou calcular e confirmar).
Observação prática do enunciado: foi alcançado o estado estacionário antes do resfriamento rápido, então o perfil de concentração através da chapa é linear e podemos usar a lei de Fick em regime estacionário.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (aula rápida e direta):
A lei de Fick para regime estacionário unidimensional diz que o fluxo de massa por unidade de área é proporcional ao gradiente de concentração:
J = -D\,\frac{dC}{dx}.
Explicando cada termo:
  • \,J é o fluxo de massa por área e tempo, em \mathrm{kg/(m^{2}\cdot s)}.
  • \,D é o coeficiente de difusão que queremos achar, em \mathrm{m^{2}/s}.
  • \,C é a concentração de soluto (aqui: carbono), em \mathrm{kg/m^{3}}.
  • \,x é a coordenada espacial (distância), em \mathrm{m}.
No estado estacionário e com condições de contorno constantes nas faces da chapa, o perfil de concentração entre as faces é linear. Assim o gradiente é simplesmente
\frac{dC}{dx}\approx\frac{C_{2}-C_{1}}{L},
onde L é a espessura da placa. Substituindo em Fick (tomando módulo do fluxo),
J = D\,\frac{|C_{2}-C_{1}|}{L}.
Isolando D:
D = \frac{J\,L}{|C_{2}-C_{1}|}.
Essa é a fórmula prática que usamos na prova para um problema de difusão em regime estacionário através de uma lâmina plana.

Passo 3

Calcular passo a passo os valores numéricos:
Primeiro a diferença de concentrações:
\Delta C = |C_{2}-C_{1}| = |0{,}78 - 0{,}18| = 0{,}60\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
Agora o produto J\cdot L:
J\cdot L = \left(7{,}36\times 10^{-9}\right)\cdot\left(2{,}0\times 10^{-3}\right).
Faço a multiplicação quebrando em partes:
7{,}36\times 2{,}0 = 14{,}72
e os expoentes:
10^{-9}\times 10^{-3} = 10^{-12}.
Logo
J\cdot L = 14{,}72\times 10^{-12}\\ \mathrm{kg/(m\cdot s)} = 1{,}472\times 10^{-11}\\ \mathrm{kg/(m\cdot s)}.
Agora uso a fórmula para D:
D = \frac{J\,L}{\Delta C} = \frac{1{,}472\times 10^{-11}}{0{,}60}.
Dividindo:
D = 2{,}453\overline{3}\times 10^{-11}\\ \mathrm{m^{2}/s}.
Arredondando razoavelmente (duas casas significativas, condizente com dados dados):
D \approx 2{,}45\times 10^{-11}\\ \mathrm{m^{2}/s}.

Passo 4

Interpretação e verificação rápida: o valor calculado
D\approx 2{,}45\times 10^{-11}\\ \mathrm{m^{2}/s}
coincide com o número R=2{,}453\times 10^{-11}\\ \mathrm{m^{2}/s} que o enunciado deu como referência — bom sinal. Além disso, olhando a tabela fornecida (linha relativa ao carbono em Fe-α) os valores típicos de D para temperaturas entre 500 e 900{ }^{\circ}\mathrm{C} variam numa faixa que inclui 2{,}45\times 10^{-11}\\ \mathrm{m^{2}/s}, então o resultado é plausível fisicamente.

Resposta

D \approx 2{,}45\times 10^{-11}\\ \mathrm{m^{2}/s}

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