Calcule a energia de um fóton de luz amarela que tem um comprimento de onda de 589 nm . Compare com a energia de um fóton de luz azul cujo comprimento de onda é igual a 440 nm . A constante de Planck (h) é igual a 6,626 \times 10^{-34} \mathrm{~J} \cdot \mathrm{~s}.

Passo 1

O que o problema pede e os dados fornecidos. O enunciado pede:
  • Calcular a energia de um fóton de luz amarela com comprimento de onda \lambda_{am} = 589\\ \mathrm{nm}.
  • Comparar com a energia de um fóton de luz azul com comprimento de onda \lambda_{az} = 440\\ \mathrm{nm}.
Dados fornecidos:
  • Constante de Planck: h = 6,626\times10^{-34}\\ \mathrm{J\cdot s} (peguei do enunciado).
  • Comprimentos de onda: \lambda_{am} = 589\\ \mathrm{nm} e \lambda_{az} = 440\\ \mathrm{nm} (peguei do enunciado).

Passo 2

Fórmula que vamos usar e explicação do que cada símbolo significa.
A energia de um fóton é dada por
E = h\nu,
onde:
  • E é a energia do fóton, em joules ( \mathrm{J});
  • h é a constante de Planck, em \mathrm{J\cdot s};
  • \nu é a frequência da luz, em \mathrm{s^{-1}}.
A frequência e o comprimento de onda estão relacionados por
\nu = \frac{c}{\lambda},
onde:
  • c é a velocidade da luz no vácuo (usarei c = 3,00\times10^{8}\\ \mathrm{m/s});
  • \lambda é o comprimento de onda, em metros ( \mathrm{m}).
Substituindo \nu em E=h\nu obtemos a forma prática que usaremos:
E = \frac{hc}{\lambda}.
Essa fórmula mostra por que fótons de comprimento de onda menor têm mais energia: \lambda aparece no denominador.

Passo 3

Converter os comprimentos de onda de nanômetros para metros (importante para unidades consistentes).
Lembre que 1\\ \mathrm{nm} = 1\times10^{-9}\\ \mathrm{m}. Assim:
\lambda_{am} = 589\\ \mathrm{nm} = 589\times10^{-9}\\ \mathrm{m} = 5,89\times10^{-7}\\ \mathrm{m},
\lambda_{az} = 440\\ \mathrm{nm} = 440\times10^{-9}\\ \mathrm{m} = 4,40\times10^{-7}\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Calcular o produto hc (isso facilita os cálculos, pois é o mesmo numerador para os dois fótons).
Usando h = 6,626\times10^{-34}\\ \mathrm{J\cdot s} e c = 3,00\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}:
hc = (6,626\times10^{-34})\cdot(3,00\times10^{8}) = 1,9878\times10^{-25}\\ \mathrm{J\cdot m}.
Explicando o passo: multiplica-se os coeficientes 6,626\cdot3,00 = 19,878 e soma-se os expoentes -34 + 8 = -26; então escreve-se como 1,9878\times10^{-25} porque deslocamos a vírgula uma casa (19,878 = 1,9878×10).

Passo 5

Calcular a energia do fóton amarelo usando E = \dfrac{hc}{\lambda}.
Substituindo:
E_{am} = \frac{1,9878\times10^{-25}}{5,89\times10^{-7}}\\ \mathrm{J}.
Agora dividimos os coeficientes e subtraímos os expoentes:
\frac{1,9878}{5,89} \approx 0,3376, \qquad 10^{-25-(-7)} = 10^{-18}.
Portanto
E_{am} \approx 0,3376\times10^{-18}\\ \mathrm{J} = 3,376\times10^{-19}\\ \mathrm{J}.
Arredondando de forma razoável para duas casas significativas (compatível com os dados), fica
E_{am} \approx 3,38\times10^{-19}\\ \mathrm{J}.

Passo 6

Calcular a energia do fóton azul da mesma forma.
Substituindo:
E_{az} = \frac{1,9878\times10^{-25}}{4,40\times10^{-7}}\\ \mathrm{J}.
Dividindo os coeficientes e ajustando os expoentes:
\frac{1,9878}{4,40} \approx 0,4518, \qquad 10^{-25-(-7)} = 10^{-18}.
Portanto
E_{az} \approx 0,4518\times10^{-18}\\ \mathrm{J} = 4,518\times10^{-19}\\ \mathrm{J}.
Arredondando para duas casas significativas:
E_{az} \approx 4,52\times10^{-19}\\ \mathrm{J}.

Passo 7

Comparação entre as energias (interpretação física).
A razão entre as energias é a inversa da razão entre os comprimentos de onda:
\frac{E_{az}}{E_{am}} = \frac{\lambda_{am}}{\lambda_{az}} = \frac{589}{440} \approx 1,34.
Isto significa que o fóton azul tem aproximadamente 1,34 vezes a energia do fóton amarelo, ou seja, cerca de 34\% a mais de energia. Intuitivamente: menor comprimento de onda \Rightarrow maior frequência \Rightarrow maior energia.

Resposta

E_{am} \approx 3,38\times10^{-19}\\ \mathrm{J}\n
E_{az} \approx 4,52\times10^{-19}\\ \mathrm{J}\n
E_{az}\approx1,34\times E_{am} (ou seja, cerca de 33,8\% maior)

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