Calcule a energia e a potência dos seguintes sinais e os classifique:
x(t)=u(t)

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos: calcular a energia, calcular a potência média e classificar o sinal
  • O sinal é x(t)=u(t), onde u(t) é a função degrau unitário.
  • Perguntas: (1) Qual é a energia de x(t)? (2) Qual é a potência média de x(t)? (3) Classificar o sinal (sinal de energia, sinal de potência ou nenhum dos dois).

Passo 2

Definição e comportamento do degrau unitário u(t)\) - A função degrau unitário é definida por \[u(t)=\begin{cases} 0, & t<0,\\[4pt] 1, & t>0, \end{cases}
(o valor em t=0\] não altera integrais, por ser de medida zero). - Logo, \(|x(t)|^{2}=|u(t)|^{2}=u(t) porque u(t) é 0 ou 1.]

Passo 3

Fórmula da energia de um sinal e aplicação ao caso
  • A energia E de um sinal x(t) é definida por
E=\int_{-\infty}^{\infty} |x(t)|^{2}\,dt.
  • Substituindo x(t)=u(t) e usando que |u(t)|^{2}=u(t),
E=\int_{-\infty}^{\infty} u(t)\,dt=\int_{0}^{\infty} 1\,dt.
  • A integral \displaystyle\int_{0}^{\infty} 1\,dt diverge (vai para infinito), pois é a área infinita sob a constante 1 para t\to\infty.
  • Portanto
E=\infty.

Passo 4

Fórmula da potência média e cálculo passo a passo
  • A potência média P (méd. de tempo) de um sinal x(t) é definida por
P=\lim_{T\to\infty}\frac{1}{2T}\int_{-T}^{T}|x(t)|^{2}\,dt.
  • Para x(t)=u(t) temos |x(t)|^{2}=u(t). Então
\int_{-T}^{T}|x(t)|^{2}\,dt=\int_{-T}^{T}u(t)\,dt=\int_{0}^{T}1\,dt=T,
pois para t<0 o integrando é zero e para 0<t\le T é 1.
  • Substituindo na definição de P,
P=\lim_{T\to\infty}\frac{1}{2T}\cdot T=\lim_{T\to\infty}\frac{1}{2}=\frac{1}{2}.
  • Logo a potência média é finita e igual a \dfrac{1}{2}.

Passo 5

Critério de classificação e conclusão
  • Critério útil:
    • Sinal de energia: tem E<\infty (então P=0).
    • Sinal de potência: tem 0<P<\infty e normalmente E=\infty.
  • No nosso caso encontramos E=\infty e P=\dfrac{1}{2} (valor finito e não nulo). Portanto x(t)=u(t) é um sinal de potência (power signal).

Resposta

E=\infty
P=\dfrac{1}{2}
Classificação: sinal de potência

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