Calcule a energia e a potência dos seguintes sinais e os classifique:
x(t)=t u(t)

Passo 1

O enunciado dá o sinal x(t)=t\,u(t) e pede três coisas:
  • Calcular a energia do sinal;
  • Calcular a potência média do sinal;
  • Classificar o sinal (se é sinal de energia, sinal de potência ou nenhum dos dois).
Informações relevantes do enunciado:
  • u(t) é a função degrau unitário (Heaviside), isto é, vale 1 para t\ge0 e 0 para t<0.
  • Portanto x(t)=t para t\ge0 e x(t)=0 para t<0.

Passo 2

Vou lembrar as definições que vou usar e explicar cada símbolo:
  • Energia do sinal: E=\int_{-\infty}^{\infty} |x(t)|^{2}\,dt,
onde t é a variável de tempo e |x(t)|^{2} é o quadrado do módulo do sinal (para sinais reais isso é x(t)^{2}). A energia é a integral do quadrado do sinal em todo o tempo.
  • Potência média do sinal: P=\lim_{T\to\infty}\frac{1}{2T}\int_{-T}^{T} |x(t)|^{2}\,dt,
onde T é um tempo de janela simétrica em torno de zero; essa fórmula dá a média temporal do quadrado do sinal (energia por unidade de tempo). Se o limite existir e for finito, esse é o valor da potência média.
Explicação intuitiva rápida: energia é “área total sob x^2” (sempre acumulativa); potência é “energia média por segundo” num intervalo grande.

Passo 3

Expressar x(t)\) de forma explícita usando o degrau: \[x(t)=\begin{cases} 0, & t<0,\\[4pt] t, & t\ge0. \end{cases}
Logo |x(t)|^{2}=x(t)^{2}=t^{2}\] para \(t\ge0 e 0 para t<0. Isso simplifica as integrais, pois todas as integrais sobre (-\infty,0) valem zero.]

Passo 4

Calcular a energia E. Substituindo na definição:
E=\int_{-\infty}^{\infty} |x(t)|^{2}\,dt=\int_{0}^{\infty} t^{2}\,dt.
Agora calculo a integral imprópria como limite:
\int_{0}^{\infty} t^{2}\,dt=\lim_{A\to\infty}\int_{0}^{A} t^{2}\,dt=\lim_{A\to\infty}\left[\frac{t^{3}}{3}\right]_{0}^{A}=\lim_{A\to\infty}\frac{A^{3}}{3}.
Como \lim_{A\to\infty}\dfrac{A^{3}}{3}=\infty, concluímos que
E= \infty.

Passo 5

Interpretação parcial: a energia é infinita, portanto o sinal não é um “sinal de energia” (um sinal de energia teria 0< E <\infty). Mas falta verificar a potência média.

Passo 6

Calcular a potência média P. Usando a definição:
P=\lim_{T\to\infty}\frac{1}{2T}\int_{-T}^{T} |x(t)|^{2}\,dt.
Como x(t)=0 para t<0, a integral de -T a T reduz-se a integral de 0 a T:
\int_{-T}^{T} |x(t)|^{2}\,dt=\int_{0}^{T} t^{2}\,dt=\left[\frac{t^{3}}{3}\right]_{0}^{T}=\frac{T^{3}}{3}.
Substituindo:
P=\lim_{T\to\infty}\frac{1}{2T}\cdot\frac{T^{3}}{3}=\lim_{T\to\infty}\frac{T^{2}}{6}.
Como \lim_{T\to\infty}\dfrac{T^{2}}{6}=\infty, obtemos
P=\infty.

Passo 7

Interpretação final e classificação: para ser sinal de potência a potência média deve ser finita e diferente de zero; para ser sinal de energia a energia total deve ser finita. Aqui tanto E quanto P são infinitos, logo o sinal não é nem sinal de energia nem sinal de potência. Em linguagem curta: é um sinal com energia infinita e potência média infinita — classificado como “nem energia nem potência” (às vezes dito simplesmente “não é sinal de energia nem sinal de potência”).
Pequeno comentário amigo: deu trabalho, né? Mas a conta principal é perceber que, por crescer como t, o quadrado cresce como t^{2} e isso explode ao integrar ou ao tirar média — por isso as divergências.

Resposta

E=\infty
P=\infty
Classificação: nem sinal de energia nem sinal de potência.

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