Determine as componentes par e ímpar dos seguintes sinais:
Passo 1
O enunciado fornece o sinal
e pede duas coisas:
- A componente par (even) de
. - A componente ímpar (odd) de
.
As informações dadas são apenas a expressão de
. Não há imagens nem dados adicionais.
Passo 2
Vamos lembrar a definição prática que usamos em prova para separar um sinal em parte par e parte ímpar. Para qualquer sinal (complexo ou real)
vale:
Explicando: a parte par é a média entre o sinal em
e no ponto simétrico
; a parte ímpar é a metade da diferença entre esses valores. Essas duas expressões garantem que
, que
e que
.
Passo 3
Calcular
usando a expressão dada:
Aqui
é a unidade imaginária (isto é,
).
Passo 4
Calcular a componente par aplicando a fórmula:
Usamos agora a identidade de Euler que liga exponenciais complexas ao cosseno:
Portanto
Comentário didático:
é uma função real e par (ou seja,
), o que bate com a definição de componente par.
Passo 5
Calcular a componente ímpar aplicando a fórmula:
Usando outra identidade de Euler:
Logo
Comentário didático:
é puramente imaginária e ímpar, pois
, então
, satisfazendo a propriedade de odd.
Passo 6
Verificação rápida da decomposição (útil para a prova): somando as partes obtidas dá
que é a identidade de Euler conhecida. Então a decomposição está consistente e é única.