Determine as componentes par e ímpar dos seguintes sinais:
x(t)=e^{j t}

Passo 1

O enunciado fornece o sinal \,x(t)=e^{j t}\, e pede duas coisas:
  • A componente par (even) de x(t).
  • A componente ímpar (odd) de x(t).
As informações dadas são apenas a expressão de x(t). Não há imagens nem dados adicionais.

Passo 2

Vamos lembrar a definição prática que usamos em prova para separar um sinal em parte par e parte ímpar. Para qualquer sinal (complexo ou real) x(t) vale:
x_{\text{par}}(t)=\frac{x(t)+x(-t)}{2}
x_{\text{ímpar}}(t)=\frac{x(t)-x(-t)}{2}í
Explicando: a parte par é a média entre o sinal em t e no ponto simétrico -t; a parte ímpar é a metade da diferença entre esses valores. Essas duas expressões garantem que x(t)=x_{\text{par}}(t)+x_{\text{ímpar}}(t)í, que x_{\text{par}}(-t)=x_{\text{par}}(t) e que x_{\text{ímpar}}(-t)=-x_{\text{ímpar}}(t)íí.

Passo 3

Calcular x(-t) usando a expressão dada:
x(-t)=e^{j(-t)}=e^{-j t}.
Aqui \,j\, é a unidade imaginária (isto é, j^2=-1).

Passo 4

Calcular a componente par aplicando a fórmula:
x_{\text{par}}(t)=\frac{e^{j t}+e^{-j t}}{2}.
Usamos agora a identidade de Euler que liga exponenciais complexas ao cosseno:
\cos t=\frac{e^{j t}+e^{-j t}}{2}.
Portanto
x_{\text{par}}(t)=\cos t.
Comentário didático: \cos t é uma função real e par (ou seja, \cos(-t)=\cos t), o que bate com a definição de componente par.

Passo 5

Calcular a componente ímpar aplicando a fórmula:
x_{\text{ímpar}}(t)=\frac{e^{j t}-e^{-j t}}{2}.í
Usando outra identidade de Euler:
\sin t=\frac{e^{j t}-e^{-j t}}{2j}\quad\Longrightarrow\quad \frac{e^{j t}-e^{-j t}}{2}=j\sin t.
Logo
x_{\text{ímpar}}(t)=j\sin t.í
Comentário didático: j\sin t é puramente imaginária e ímpar, pois \sin(-t)=-\sin t, então j\sin(-t)=-j\sin t, satisfazendo a propriedade de odd.

Passo 6

Verificação rápida da decomposição (útil para a prova): somando as partes obtidas dá
x_{\text{par}}(t)+x_{\text{ímpar}}(t)=\cos t + j\sin t = e^{j t},í
que é a identidade de Euler conhecida. Então a decomposição está consistente e é única.

Resposta

x_{\text{par}}(t)=\cos t
x_{\text{ímpar}}(t)=j\sin tí

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