Calcule e esboce as seguintes convoluções para os pares sinais-sistemas entre:
x(t)=\operatorname{rect}(t) e h(t)=\operatorname{rect}(t)

Passo 1

O enunciado pede a convolução de x(t)=\operatorname{rect}(t) com h(t)=\operatorname{rect}(t). O conteúdo envolvido é a integral de convolução em tempo contínuo:
y(t) = (x*h)(t) = \int_{-\infty}^{\infty} x(\tau)\,h(t-\tau)\,d\tau.
Para resolver, precisamos lembrar que \operatorname{rect}(t)=1 se |t|\le\frac12 e zero caso contrário.

Passo 2

Escrevendo explicitamente a integral:
y(t)=\int_{-\infty}^{\infty}\operatorname{rect}(\tau)\,\operatorname{rect}(t-\tau)\,d\tau.
Como cada \operatorname{rect} vale zero fora de |\tau|\le\frac12 e de |t-\tau|\le\frac12, só há contribuição quando
|\tau|\le\frac12 \quad\text{e}\quad |t-\tau|\le\frac12.

Passo 3

Essas duas condições definem o intervalo de \tau onde há sobreposição:
\tau\in\Bigl[\max\bigl(-\tfrac12,\;t-\tfrac12\bigr),\;\min\bigl(\tfrac12,\;t+\tfrac12\bigr)\Bigr].
A convolução é a medida (comprimento) desse intervalo, desde que ele exista. Ele existe apenas se |t|\le1.

Passo 4

Para obter a expressão em trechos, considere:
  • Para -1\le t\le0:
    o limite inferior é -\tfrac12 e o superior é t+\tfrac12, então
y(t)=(t+\tfrac12)-\bigl(-\tfrac12\bigr)=t+1.
  • Para 0\le t\le1:
    o limite inferior é t-\tfrac12 e o superior é \tfrac12, então
y(t)=\tfrac12-(t-\tfrac12)=1-t.
  • Para |t|>1: não há sobreposição e y(t)=0.

Passo 5

O gráfico de y(t) é um triângulo simétrico em torno de t=0, com base de -1 a 1 e pico de altura 1 em t=0.
^
1 | /
| /
0 |__/ __
- 101\to t

Resposta

y(t)=(\operatorname{rect}*\operatorname{rect})(t) =\begin{cases} 0, & |t|>1,\\\ t+1, & -1 \le t \le 0,\\\\ 1-t, & 0 < t \le 1. \end{cases}

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