Calcule e esboce as seguintes convoluções para os pares sinais-sistemas entre:
x(t)=\operatorname{rect}(4 t) e h(t)=4 \delta(2 t)

Passo 1

O enunciado pede a saída y(t) obtida pela convolução
y(t)=x(t)*h(t)
onde x(t)=\operatorname{rect}(4t) e h(t)=4\,\delta(2t). O conteúdo é convolução de um pulso retangular com um impulso escalado.

Passo 2

Vamos escrever o pulso retangular de forma explícita. Por definição
\operatorname{rect}(4t)= \begin{cases} 1,&|4t|\le\tfrac12,\\\\ 0,&\text{caso contrário}. \end{cases}á
Isso equivale a
x(t)= \begin{cases} 1,&|t|\le\tfrac18,\\\\ 0,&\text{caso contrário}. \end{cases}á

Passo 3

Aplicamos a propriedade de escala no impulso:
\delta(2t)=\frac1{|2|}\,\delta(t)=\frac12\,\delta(t).
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h(t)=4\,\delta(2t)=4\cdot\frac12\,\delta(t)=2\,\delta(t).

Passo 4

A convolução com um impulso deslocado scala o sinal:
y(t) =\int_{-\infty}^{+\infty}x(\tau)\,h(t-\tau)\,d\tau =\int_{-\infty}^{+\infty}x(\tau)\,2\,\delta(t-\tau)\,d\tau =2\,x(t).

Passo 5

Substituindo x(t) temos
y(t)=2\,\operatorname{rect}(4t) = \begin{cases} 2,&|t|\le\tfrac18,\\\\ 0,&\text{caso contrário}. \end{cases}á

Passo 6

Esboço de y(t): um pulso retangular centralizado em zero, de amplitude 2 e largura total 2\cdot\frac18=\frac14:
t
←–––––|–––––→

| |
| 2 |
| |
–⅛ ⅛

Resposta

y(t)=2\,\operatorname{rect}(4t) \quad\text{ou}\quad y(t)= \begin{cases} 2,&|t|\le\tfrac18,\\\\ 0,&\text{caso contrário}. \end{cases}á

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