Calcule e esboce as seguintes convoluções para os pares sinais-sistemas entre:
x(t)=\operatorname{rect}(4 t) e h(t)=\delta_{1}(t)

Passo 1

O enunciado dá o sinal \,x(t)=\operatorname{rect}(4t)\, e o sistema \,h(t)=\delta_{1}(t), sendo \,\delta_{1}(t)=\delta(t-1). Queremos calcular a convolução
y(t)=x(t)*h(t)
e depois esboçar o resultado. Usaremos a definição de convolução e a propriedade de deslocamento do impulso.

Passo 2

A definição de convolução é
y(t)=\int_{-\infty}^{\infty}x(\tau)\,h(t-\tau)\,d\tau.
Como h(t)=\delta(t-1), substituímos e obtemos
y(t)=\int_{-\infty}^{\infty}x(\tau)\,\delta\bigl(t-\tau-1\bigr)\,d\tau =\;x(t-1).

Passo 3

Sabendo que x(t)=\operatorname{rect}(4t), basta deslocar t\to t-1:
y(t)=\operatorname{rect}\bigl(4(t-1)\bigr).
E, como \operatorname{rect}(u)=1 para \lvert u\rvert\le\tfrac12 e zero caso contrário, temos
y(t)=1 \quad\text{se}\quad \bigl|4(t-1)\bigr|\le\tfrac12 \quad\Longleftrightarrow\quad |t-1|\le\tfrac18,
e y(t)=0 fora desse intervalo.

Passo 4

Para esboçar y(t), desenhe um pulso retangular de amplitude 1 centrado em t=1 e largura \tfrac14, ou seja, suportado no intervalo \bigl[1-\tfrac18,\;1+\tfrac18\bigr]. Fora desse intervalo, y(t)=0.

Resposta

y(t)=\operatorname{rect}\bigl(4(t-1)\bigr).

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