Calcule e esboce as seguintes convoluções para os pares sinais-sistemas entre:
x(t)=\operatorname{rect}(t) e h(t)=\operatorname{tri}(t)

Passo 1

O enunciado pede a convolução
y(t) = x(t) * h(t)
onde
x(t)=\operatorname{rect}(t) \quad\text{e}\quad h(t)=\operatorname{tri}(t).
Aqui usamos as definições padrão:
\operatorname{rect}(t)=1 para \lvert t\rvert\le\tfrac12 e zero fora;
\operatorname{tri}(t)=1-\lvert t\rvert para \lvert t\rvert\le1 e zero fora.
Vamos escrever o integral de convolução e achar o suporte de y(t): como \operatorname{rect} tem suporte [-1/2,1/2] e \operatorname{tri} tem suporte [-1,1], o suporte de y(t) é [-3/2,3/2].

Passo 2

Escrevemos
y(t)=\int_{-\infty}^{\infty}\operatorname{rect}(\tau)\,\operatorname{tri}(t-\tau)\,d\tau =\int_{-1/2}^{1/2}\bigl[\,1-\lvert t-\tau\rvert\bigr]_+\,d\tau,
onde [\cdot]_+ indica que só integramos quando 1-\lvert t-\tau\rvert>0. As quebras ocorrem em t=-3/2,-1/2,1/2,3/2. Vamos tratar separadamente três regiões não triviais:
  1. -3/2\le t\le-1/2.
  2. -1/2\le t\le1/2.
  3. 1/2\le t\le3/2.

Passo 3

Região -3/2\le t\le-1/2.
Nesse caso \tau\in[-1/2,t+1]\subset[-1/2,1/2] e em toda a faixa \tau>t, logo \lvert t-\tau\rvert=\tau-t.
y(t) =\int_{-1/2}^{\,t+1}\bigl(1-(\tau-t)\bigr)\,d\tau =\int_{-1/2}^{t+1}(1+t-\tau)\,d\tau.
Fazendo as contas:
y(t) =0{,}5\,t^2+1{,}5\,t+1{,}125.

Passo 4

Região -1/2\le t\le1/2.
Agora a integração vai de \tau=-1/2 até \tau=1/2, e precisamos quebrar em \tau\le t e \tau\ge t. Após integrar chegamos a
y(t)=0{,}75 - t^2.

Passo 5

Região 1/2\le t\le3/2.
Como x e h são pares, y também é par. Basta usar simetria y(t)=y(-t).
Logo, trocando t\to -t na expressão do passo 3:
y(t)=0{,}5\,t^2-1{,}5\,t+1{,}125.

Passo 6

Juntando tudo, a resposta em forma de função por partes é
y(t)= \begin{cases} 0, & |t|\ge 1{,}5,\\[6pt] 0{,}5\,t^2+1{,}5\,t+1{,}125, & -1{,}5\le t\le -0{,}5,\\[6pt] 0{,}75 - t^2, & -0{,}5\le t\le 0{,}5,\\[6pt] 0{,}5\,t^2 -1{,}5\,t +1{,}125, & 0{,}5\le t\le 1{,}5. \end{cases}
Esboço qualitativo: y(t) é contínua e par, cresce com formato parabólico de 0 em t=-1,5 até y(-0,5)=0,5, atinge máximo y(0)=0,75, e decresce simetricamente até zero em t=1,5.]

Resposta

y(t)= \begin{cases} 0, & |t|\ge 1{,}5,\\[6pt] 0{,}5\,t^2+1{,}5\,t+1{,}125, & -1{,}5\le t\le -0{,}5,\\[6pt] 0{,}75 - t^2, & -0{,}5\le t\le 0{,}5,\\[6pt] 0{,}5\,t^2 -1{,}5\,t +1{,}125, & 0{,}5\le t\le 1{,}5. \end{cases}]

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