Calcule e esboce as seguintes convoluções para os pares sinais-sistemas entre:
x(t)=\operatorname{rect}(4 t) e h(t)=\delta_{1}(t-1)

Passo 1

O enunciado pede para calcular e esboçar a convolução
y(t)=x(t)*h(t)
onde
x(t)=\operatorname{rect}(4t)
e
h(t)=\delta(t-1).
O conteúdo é a propriedade da convolução com o impulso deslocado.

Passo 2

Lembrando que, pela definição de convolução e pela propriedade do impulso de Dirac, vale
\int_{-\infty}^{\infty}x(\tau)\,\delta\bigl(t-1-\tau\bigr)\,d\tau = x\bigl(t-1\bigr).

Passo 3

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y(t)=x(t)*\delta(t-1)=x(t-1).

Passo 4

Substituindo x(t)=\operatorname{rect}(4t) em t\mapsto t-1, obtemos
y(t)=\operatorname{rect}\bigl(4(t-1)\bigr).
Pela definição de \operatorname{rect}(u), temos 1 se |u|\le\frac12 e 0 caso contrário. Portanto,
\bigl|4(t-1)\bigr|\le\frac12 \;\Longleftrightarrow\; |t-1|\le\frac18 \;\Longleftrightarrow\; \tfrac{7}{8}\le t\le\tfrac{9}{8}.
Em resumo,
y(t)= \begin{cases} 1, & \tfrac{7}{8}\le t\le\tfrac{9}{8},\\\\ 0, & \text{caso contrário.} \end{cases}á

Passo 5

Para esboçar, basta desenhar um retângulo de altura 1 ativo no intervalo [\tfrac78,\tfrac98] e zero fora dele.

Resposta

y(t)=\operatorname{rect}\bigl(4(t-1)\bigr) \quad\Longleftrightarrow\quad y(t)= \begin{cases} 1, & \tfrac{7}{8}\le t\le\tfrac{9}{8},\\\\ 0, & \text{caso contrário.} \end{cases}á

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