Calcule e esboce as seguintes convoluções para os pares sinais-sistemas entre:
x(t)=\operatorname{rect}(t / 2) \operatorname{sinc}(t) e h(t)=\delta_{2}(t)

Passo 1

O enunciado pede a convolução
y(t)=x(t)\ast h(t)
onde
x(t)=\operatorname{rect}\!\Bigl(\frac{t}{2}\Bigr)\,\mathrm{sinc}(t) \quad\text{e}\quad h(t)=\delta_{2}(t).
O assunto é convolução de sinais contínuos e vamos usar a propriedade de deslocamento do delta de Dirac.

Passo 2

Lembrando que a notação \delta_{2}(t) significa \delta(t-2), e que para qualquer sinal x(t) vale
x(t)\ast \delta(t - t_{0}) = x(t - t_{0}),
pela propriedade de “sifting” do delta.

Passo 3

Aplicando essa propriedade com t_{0}=2, obtemos
y(t)=x(t)\ast \delta(t-2)=x(t-2).

Passo 4

Substituindo x(t) por \operatorname{rect}(t/2)\,\mathrm{sinc}(t), fica
y(t)=\operatorname{rect}\!\Bigl(\frac{t-2}{2}\Bigr)\,\mathrm{sinc}(t-2).
Note que \operatorname{rect}\bigl(\tfrac{t-2}{2}\bigr)=1 se \lvert t-2\rvert\le1 (ou seja, em 1\le t\le3) e zero fora disso; dentro desse intervalo, o sinal tem a forma de uma função sinc deslocada de 2.

Resposta

y(t)=\operatorname{rect}\!\Bigl(\frac{t-2}{2}\Bigr)\,\mathrm{sinc}(t-2).
Esboço de y(t):
  • Suporte em 1\le t\le3.
  • Em t=2, \mathrm{sinc}(0)=1.
  • Zeros nos extremos t=1 e t=3.
  • Forma da “lóbulo central” de uma sinc, contida dentro do retângulo de largura 2.
Eixo t:
01234
│----┼───────┼───────┼----│
.‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾.
/ \
/ \
11
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_____________________/
123 (altura em t =2 é 1)

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