Calcule e esboce as seguintes convoluções para os pares sinais-sistemas entre:
x(t)=\operatorname{sinc}(4 t) e h(t)=\delta_{2}(t)

Passo 1

O enunciado pede a convolução de x(t)=\operatorname{sinc}(4t) com h(t)=\delta_{2}(t), onde definimos \delta_{2}(t)=\delta(t-2). O conteúdo é convolução em sistemas LTI e vamos usar a propriedade de deslocamento do impulso de Dirac.

Passo 2

A saída de um sistema LTI é dada por
y(t)=\int_{-\infty}^{\infty}x(\tau)\,h(t-\tau)\,d\tau.
Aqui temos h(t)=\delta(t-2).

Passo 3

Pela propriedade de “sifting” do delta,
\int_{-\infty}^{\infty}x(\tau)\,\delta\bigl(t-2-\tau\bigr)\,d\tau = x(t-2).
Logo
y(t)=x(t-2).

Passo 4

Substituindo x(t)=\operatorname{sinc}(4t), fica
y(t)=\operatorname{sinc}\bigl(4(t-2)\bigr).

Passo 5

Para esboçar y(t), note que é exatamente o gráfico de \operatorname{sinc}(4t) deslocado 2 unidades à direita. O lóbo principal, antes centrado em t=0, agora está em t=2, e os zeros ocorrem em
t=2\pm \frac{k}{2},\quad k\in\mathbb{Z}\setminus\{0\}.

Resposta

y(t)=\operatorname{sinc}\bigl(4(t-2)\bigr) (gráfico de \operatorname{sinc}(4t) deslocado 2 unidades à direita).

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