Calcule, se existir, a área das regiōes abaixo, limitas pelas curvas y, e pelos intervalos indicados:
(h) y = (x - 2) / (x^2 - 5x + 4), de 2 <= x < 4

Passo 1

O exercício solicita calcular a área da região limitada pela curva no intervalo . Para resolver isso, vamos usar o cálculo integral, que nos permite encontrar áreas sob curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da função . Vamos fatorar o denominador:
Assim, a função fica:

Passo 3

Agora, vamos identificar onde a função é igual a zero e onde ela não está definida. A função se anula quando o numerador é zero, ou seja, quando . Além disso, a função não está definida nos valores que anulam o denominador, ou seja, e .
No intervalo , o ponto está no limite superior, mas como , não precisamos considerar dentro desse intervalo. Portanto, vamos seguir para a integração nesse intervalo.

Passo 4

Para encontrar a área, vamos calcular a integral definida de de a :
Vamos simplificar a fração utilizando frações parciais. Queremos expressar como:
Multiplicando ambos os lados por :
Para encontrar os valores de e , escolhemos valores de que simplificam a equação:
  1. Se :
  1. Se :
Então, a fração parcial fica:

Passo 5

Agora, substituímos de volta na integral:
As integrais de são , então:
Calculando os limites:
Para o primeiro termo:
Para o segundo termo:
Aqui, observamos que tende a , o que significa que a integral tende ao infinito negativo. Isso ocorre porque a função possui uma assíntota vertical em e estamos tentando integrar até esse ponto.

Resposta

A área não existe pois a integral definida diverge para menos infinito.

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