Estude a convergência da integral imprópria
, onde
é um número real qualquer.
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem que estudar se a integral imprópria
converge ou não. Isso faz parte do cálculo, especificamente no estudo de integrais impróprias. Para resolver isso, vamos precisar usar o teste do
, que nos ajuda a determinar a convergência de integrais desse tipo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa essa integral. Estamos integrando a função
de 1 até o infinito. Como o limite superior é infinito, a integral é dita imprópria. Para resolver, vamos calcular o limite quando
tende ao infinito da integral
.
Passo 3
Vamos integrar
. Lembrando que a integral de
é
(desde que
), aplicamos isso:
Passo 4
Agora, aplicamos isso aos limites de integração de 1 até
:
Passo 5
Vamos agora analisar o limite quando
tende ao infinito:
Passo 6
Dependendo do valor de
, o termo
se comporta de maneiras diferentes:
- Se
(ou seja, ), então tende a 0 quando vai para o infinito. - Se
(ou seja, ), então tende ao infinito quando vai para o infinito. - Se
, temos uma integral especial que resulta no logaritmo, que também tende ao infinito.
Passo 7
Então:
-
Para
: , então a integral fica , que é um número finito. Ou seja, a integral converge. -
Para
: A integral tende ao infinito, ou seja, não converge.
Resposta
A integral imprópria
converge se e somente se
. Para
, a integral não converge.