Estude a convergência da integral imprópria integral1^+infty 1x^p d x, onde p é um número real qualquer.

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem que estudar se a integral imprópria converge ou não. Isso faz parte do cálculo, especificamente no estudo de integrais impróprias. Para resolver isso, vamos precisar usar o teste do , que nos ajuda a determinar a convergência de integrais desse tipo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa essa integral. Estamos integrando a função de 1 até o infinito. Como o limite superior é infinito, a integral é dita imprópria. Para resolver, vamos calcular o limite quando tende ao infinito da integral .

Passo 3

Vamos integrar integral 1x^p , dx = integral x^-p , dx = x^-p+1-p+1 + C = x^1-p1-p + C . Lembrando que a integral de é (desde que ), aplicamos isso:

Passo 4

Agora, aplicamos isso aos limites de integração de 1 até integral1^b 1x^p , dx = [ x^1-p1-p ]1^b = b^1-p1-p - 1^1-p1-p :

Passo 5

Vamos agora analisar o limite quando limb to +infty ( b^1-p1-p - 11-p ) = limb to +infty b^1-p1-p - 11-p tende ao infinito:

Passo 6

Dependendo do valor de , o termo se comporta de maneiras diferentes:
  • Se (ou seja, ), então tende a 0 quando vai para o infinito.
  • Se (ou seja, ), então tende ao infinito quando vai para o infinito.
  • Se , temos uma integral especial que resulta no logaritmo, que também tende ao infinito.

Passo 7

Então:
  • Para : , então a integral fica , que é um número finito. Ou seja, a integral converge.
  • Para : A integral tende ao infinito, ou seja, não converge.

Resposta

A integral imprópria converge se e somente se . Para , a integral não converge.

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