Calcule, se existirem, os seguintes limites, justificando todas as passagens:
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{2}}{x+y}

Passo 1

O enunciado pede o limite de
\frac{x^{2}}{x+y}
quando (x,y)\to(0,0).
O conteúdo aqui é análise de limites em duas variáveis e o teste de existência via aproximações por diferentes curvas. Para o limite existir, todas as curvas que levam (x,y) a (0,0) devem dar o mesmo valor da expressão.

Passo 2

Primeiro, aproximamos por linhas do tipo y=kx, onde k\neq -1. Substituindo:
\frac{x^{2}}{x+y} =\frac{x^{2}}{x+kx} =\frac{x^{2}}{(1+k)\,x} =\frac{x}{1+k}.
Como x\to0, esse quociente tende a
\lim_{x\to0}\frac{x}{1+k}=0.
Logo, ao longo de qualquer reta y=kx (com k\neq -1), a expressão vai a 0.

Passo 3

Agora, aproximamos por uma curva que anule x+y na mesma ordem de x^{2}. Tomemos por exemplo
y=-x+x^{2}.
Então
x+y =x+(-x+x^{2}) =x^{2}
e a fração fica
\frac{x^{2}}{x+y} =\frac{x^{2}}{x^{2}} =1,
para todo x\neq0. Portanto, ao aproximar (x,y)\to(0,0) seguindo essa curva, o valor da expressão tende a 1.

Passo 4

Observamos que pelas retas y=kx (com k\neq -1) o limite é 0, enquanto pela curva y=-x+x^{2} o limite é 1. Como aparecem dois valores diferentes, concluímos que o limite não existe.

Resposta

O limite não existe.

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