Calcule, se existirem, os seguintes limites, justificando todas as passagens:
Passo 1
O enunciado pede o limite de
quando
.
O conteúdo aqui é análise de limites em duas variáveis e o teste de existência via aproximações por diferentes curvas. Para o limite existir, todas as curvas que levam a
devem dar o mesmo valor da expressão.
O conteúdo aqui é análise de limites em duas variáveis e o teste de existência via aproximações por diferentes curvas. Para o limite existir, todas as curvas que levam
Passo 2
Primeiro, aproximamos por linhas do tipo
, onde
. Substituindo:
Como
, esse quociente tende a
Logo, ao longo de qualquer reta
(com
), a expressão vai a
.
Passo 3
Agora, aproximamos por uma curva que anule
na mesma ordem de
. Tomemos por exemplo
Então
e a fração fica
para todo
. Portanto, ao aproximar
seguindo essa curva, o valor da expressão tende a
.
Passo 4
Observamos que pelas retas
(com
) o limite é
, enquanto pela curva
o limite é
. Como aparecem dois valores diferentes, concluímos que o limite não existe.
Resposta
O limite não existe.