Calcule, se existirem, os seguintes limites, justificando todas as passagens:
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} x^{2} \ln \left(3 x^{2}+y^{2}\right) \arctan \left(\frac{1}{y^{2}-x^{2}}\right)

Passo 1

O enunciado pede o valor de
\lim_{(x,y)\to(0,0)}x^{2}\,\ln\bigl(3x^{2}+y^{2}\bigr)\,\arctan\!\Bigl(\frac{1}{y^{2}-x^{2}}\Bigr).
O tema é limite em duas variáveis e vamos usar o Teorema do Confronto (squeeze theorem), aproveitando que \arctan é limitada e que o produto de uma função que tende a zero por outra que cresce “lentamente” (logaritmo) ainda tende a zero.

Passo 2

Primeiro note que, para (x,y)\neq(0,0) suficientemente próximos de (0,0), temos 3x^{2}+y^{2}>0 (logo \ln(3x^{2}+y^{2}) está bem definida) e também
\biggl|\arctan\!\Bigl(\frac1{y^{2}-x^{2}}\Bigr)\biggr|\le\frac{\pi}{2}.
Assim, em valor absoluto,
\bigl|x^{2}\ln(3x^{2}+y^{2})\arctan(\tfrac1{y^{2}-x^{2}})\bigr| \le x^{2}\,\bigl|\ln(3x^{2}+y^{2})\bigr|\;\frac{\pi}{2}.

Passo 3

Defina r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}. Então x^{2}\le r^{2}. Além disso, para r<1 vale
r^{2}=x^{2}+y^{2}\le3x^{2}+y^{2}<1,
logo \ln(3x^{2}+y^{2})<0 e
\bigl|\ln(3x^{2}+y^{2})\bigr| =-\ln(3x^{2}+y^{2}) \le -\ln(r^{2}) =\bigl|\ln(r^{2})\bigr| =2\,\bigl|\ln r\bigr|.
Portanto
x^{2}\,\bigl|\ln(3x^{2}+y^{2})\bigr|\;\frac{\pi}{2} \le r^{2}\cdot2\bigl|\ln r\bigr|\;\frac{\pi}{2} =\pi\,r^{2}\,\bigl|\ln r\bigr|.

Passo 4

Ficamos com
\bigl|x^{2}\ln(3x^{2}+y^{2})\arctan(\tfrac1{y^{2}-x^{2}})\bigr| \le \pi\,r^{2}\,\bigl|\ln r\bigr|.
Para r\to0^{+} sabe-se que r^{2}\,\bigl|\ln r\bigr|\to0 (pois e^{2t} domina qualquer potência de t quando t\to+\infty sob a troca t=-\ln r). Logo o lado direito tende a zero.

Resposta

\lim_{(x,y)\to(0,0)}x^{2}\ln(3x^{2}+y^{2})\arctan\!\Bigl(\frac{1}{y^{2}-x^{2}}\Bigr) =0.

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