Calcule, se existirem, os seguintes limites, justificando todas as passagens: \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} x^{2} \ln \left(3 x^{2}+y^{2}\right) \arctan \left(\frac{1}{y^{2}-x^{2}}\right)
O tema é limite em duas variáveis e vamos usar o Teorema do Confronto (squeeze theorem), aproveitando que \arctan é limitada e que o produto de uma função que tende a zero por outra que cresce “lentamente” (logaritmo) ainda tende a zero.
Passo 2
Primeiro note que, para (x,y)\neq(0,0) suficientemente próximos de (0,0), temos 3x^{2}+y^{2}>0 (logo \ln(3x^{2}+y^{2}) está bem definida) e também
Para r\to0^{+} sabe-se que r^{2}\,\bigl|\ln r\bigr|\to0 (pois e^{2t} domina qualquer potência de t quando t\to+\infty sob a troca t=-\ln r). Logo o lado direito tende a zero.