Calcule, se existirem, os seguintes limites, justificando todas as passagens: \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x y}{x^{2}+y^{2}} \operatorname{sen}\left(\frac{x^{2} y}{x^{2}+y^{4}}\right) Passo 1O enunciado pede o valor de \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x\,y}{x^{2}+y^{2}}\;\sin\!\Bigl(\frac{x^{2}y}{x^{2}+y^{4}}\Bigr). Este é um limite em \mathbb{R}^{2}. Vamos usar desigualdades e o Teorema do Confronto (squeeze) para mostrar que ele vale 0. Passo 2Observe que, para todo (x,y)\neq(0,0), \Bigl|\frac{x\,y}{x^{2}+y^{2}}\Bigr| =\frac{|x|\,|y|}{x^{2}+y^{2}} \le \frac{\tfrac12(x^{2}+y^{2})}{x^{2}+y^{2}} =\tfrac12. Aqui usamos a desigualdade aritmético-geométrica 2|x|\,|y|\le x^{2}+y^{2}. Passo 3Agora, para o argumento do seno, temos \Bigl|\frac{x^{2}y}{x^{2}+y^{4}}\Bigr| \le\begin{cases} \displaystyle\frac{|x^{2}y|}{x^{2}}=|y|,&x\neq0,\\\\ 0,&x=0. \end{cases} Logo \Bigl|\frac{x^{2}y}{x^{2}+y^{4}}\Bigr|\le|y|, e portanto, quando (x,y)\to(0,0), esse quociente tende a 0. Passo 4Como \bigl|\sin u\bigr|\le|u| para todo u, temos \biggl|\frac{x\,y}{x^{2}+y^{2}}\;\sin\!\Bigl(\frac{x^{2}y}{x^{2}+y^{4}}\Bigr)\biggr| \le \Bigl|\frac{x\,y}{x^{2}+y^{2}}\Bigr|\;\Bigl|\sin\!\bigl(\dots\bigr)\Bigr| \le \tfrac12\;\Bigl|\frac{x^{2}y}{x^{2}+y^{4}}\Bigr| \le \tfrac12\,|y|. Como \tfrac12\,|y|\to0 quando (x,y)\to(0,0), pelo Teorema do Confronto concluímos que o limite original vale 0. Resposta \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x\,y}{x^{2}+y^{2}}\;\sin\!\Bigl(\frac{x^{2}y}{x^{2}+y^{4}}\Bigr)=0. MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosCalcule, se existirem, os seguintes limites, justificando todas as passagens: \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \arctan \left(\frac{x^{4}-2 y}{x^{4}+y^{3}}\right) Calcule, se existirem, os seguintes limites, justificando todas as passagens: \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \arctan \left(\frac{x^{4}-2 y}{x^{4}+y^{3}}\right) Calcule, se existirem, os seguintes limites, justificando todas as passagens: \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x y}{x^{2}+y^{2}} \operatorname{sen}\left(\frac{x^{2} y}{x^{2}+y^{4}}\right) Calcule, se existirem, os seguintes limites, justificando todas as passagens: \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{e^{x}-e^{y}}{x-y}