Calcule, se existirem, os seguintes limites, justificando todas as passagens:
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x y}{x^{2}+y^{2}} \operatorname{sen}\left(\frac{x^{2} y}{x^{2}+y^{4}}\right)

Passo 1

O enunciado pede o valor de
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x\,y}{x^{2}+y^{2}}\;\sin\!\Bigl(\frac{x^{2}y}{x^{2}+y^{4}}\Bigr).
Este é um limite em \mathbb{R}^{2}. Vamos usar desigualdades e o Teorema do Confronto (squeeze) para mostrar que ele vale 0.

Passo 2

Observe que, para todo (x,y)\neq(0,0),
\Bigl|\frac{x\,y}{x^{2}+y^{2}}\Bigr| =\frac{|x|\,|y|}{x^{2}+y^{2}} \le \frac{\tfrac12(x^{2}+y^{2})}{x^{2}+y^{2}} =\tfrac12.
Aqui usamos a desigualdade aritmético-geométrica 2|x|\,|y|\le x^{2}+y^{2}.

Passo 3

Agora, para o argumento do seno, temos
\Bigl|\frac{x^{2}y}{x^{2}+y^{4}}\Bigr| \le\begin{cases} \displaystyle\frac{|x^{2}y|}{x^{2}}=|y|,&x\neq0,\\\\ 0,&x=0. \end{cases}
Logo
\Bigl|\frac{x^{2}y}{x^{2}+y^{4}}\Bigr|\le|y|,
e portanto, quando (x,y)\to(0,0), esse quociente tende a 0.

Passo 4

Como \bigl|\sin u\bigr|\le|u| para todo u, temos
\biggl|\frac{x\,y}{x^{2}+y^{2}}\;\sin\!\Bigl(\frac{x^{2}y}{x^{2}+y^{4}}\Bigr)\biggr| \le \Bigl|\frac{x\,y}{x^{2}+y^{2}}\Bigr|\;\Bigl|\sin\!\bigl(\dots\bigr)\Bigr| \le \tfrac12\;\Bigl|\frac{x^{2}y}{x^{2}+y^{4}}\Bigr| \le \tfrac12\,|y|.
Como \tfrac12\,|y|\to0 quando (x,y)\to(0,0), pelo Teorema do Confronto concluímos que o limite original vale 0.

Resposta

\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x\,y}{x^{2}+y^{2}}\;\sin\!\Bigl(\frac{x^{2}y}{x^{2}+y^{4}}\Bigr)=0.

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