Calcule, se existirem, os seguintes limites, justificando todas as passagens:
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \arctan \left(\frac{x^{4}-2 y}{x^{4}+y^{3}}\right)

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \arctan\!\biggl(\frac{x^{4}-2y}{\,x^{4}+y^{3}\!}\biggr).
O conteúdo principal é limite de função de duas variáveis e dependência do caminho. Vamos usar que \arctan é contínua e, em seguida, mostrar que o quociente
g(x,y)=\frac{x^{4}-2y}{x^{4}+y^{3}}
não tem limite único pois assume valores diferentes em caminhos distintos.

Passo 2

Como \arctan é contínua em todo \mathbb{R}, se existir \displaystyle L=\lim_{(x,y)\to(0,0)}g(x,y) então
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\arctan(g(x,y))=\arctan(L).
Porém, se encontrarmos dois caminhos de aproximação a (0,0) que façam g(x,y) tender a valores diferentes, concluir-se-á que o limite não existe.

Passo 3

Considere o caminho y=0. Para y=0 e x\neq0 temos
g(x,0)=\frac{x^{4}-2\cdot 0}{x^{4}+0^{3}}=\frac{x^{4}}{x^{4}}=1.
Logo
\lim_{x\to0}g(x,0)=1 \quad\Longrightarrow\quad \lim_{x\to0}\arctan\bigl(g(x,0)\bigr)=\arctan(1)=\frac{\pi}{4}.

Passo 4

Agora use o caminho y=\tfrac12\,x^{4}. Então
\text{numerador} = x^{4}-2\Bigl(\tfrac12x^{4}\Bigr)=0, \qquad \text{denominador} = x^{4}+\Bigl(\tfrac12x^{4}\Bigr)^{3} = x^{4}+\frac{x^{12}}{8} = x^{4}\Bigl(1+\tfrac{x^{8}}{8}\Bigr).
Para x\to0 o denominador é \sim x^{4} não nulo, e portanto
g\bigl(x,\tfrac12x^{4}\bigr) =\frac{0}{x^{4}(1+x^{8}/8)}=0 \quad\Longrightarrow\quad \lim_{x\to0}g\bigl(x,\tfrac12x^{4}\bigr)=0.
Assim
\lim_{x\to0}\arctan\!\bigl(g(x,\tfrac12x^{4})\bigr) =\arctan(0)=0.

Passo 5

Nos dois caminhos encontramos
\lim\arctan(g)=\frac{\pi}{4} \quad\text{e}\quad \lim\arctan(g)=0,
valores diferentes. Logo o limite
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \arctan\!\bigl(\tfrac{x^{4}-2y}{x^{4}+y^{3}}\bigr)
não existe.

Resposta

O limite não existe.

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