Calcule, se existirem, os seguintes limites, justificando todas as passagens:
Passo 1
O enunciado pede o limite
O conteúdo principal é limite de função de duas variáveis e dependência do caminho. Vamos usar que
é contínua e, em seguida, mostrar que o quociente
não tem limite único pois assume valores diferentes em caminhos distintos.
Passo 2
Como
é contínua em todo
, se existir
então
Porém, se encontrarmos dois caminhos de aproximação a
que façam
tender a valores diferentes, concluir-se-á que o limite não existe.
Passo 3
Considere o caminho
. Para
e
temos
Logo
Passo 4
Agora use o caminho
. Então
Para
o denominador é
não nulo, e portanto
Assim
Passo 5
Nos dois caminhos encontramos
valores diferentes. Logo o limite
não existe.
Resposta
O limite não existe.