3. Funções de Duas Variáveis: Limite e Continuidade
Calcule, se existirem, os seguintes limites, justificando todas as passagens:
a)
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x y}{x^{2}+y^{2}}\)
b) \(\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{2} y \cos \left(x^{2}+y^{2}\right)}{x^{2}+y^{2}}\)
c) \(\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{3}+y^{3}}{x^{2}+y^{2}}\)
d) \(\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{2} y}{2 x^{4}+x^{2} y+y^{2}}\)
e) \(\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{2 x^{2}+3 x y+4 y^{2}}{3 x^{2}+5 y^{2}}\)
f) \(\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x y}{x^{3}-y}\)
g) \(\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{\operatorname{sen}\left(x^{2}+y^{2}\right)}{x^{2}+y^{2}}\)
h) \(\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{4} \operatorname{sen}\left(x^{2}+y^{2}\right)}{x^{4}+y^{2}}\)
i) \(\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{(x+y)^{3}}{x^{2}+y^{2}}\)
j) \(\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}} \operatorname{sen}\left(\frac{x y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\right)\)
k) \(\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{3} y+y^{4}+x^{4}}{x^{3} y-x y^{3}}\)
l) \(\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{3}+\operatorname{sen}\left(x^{2}+y^{2}\right)}{y^{4}+\operatorname{sen}\left(x^{2}+y^{2}\right)}\)
m) \(\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{3} y^{4}+x^{5} \sqrt[3]{y^{4}}}{x^{6}+y^{8}}\)
n) \(\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{3}\left(1-\cos \left(x^{2}+y^{2}\right)\right)}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{3}}\)
o) \(\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)}\left(x^{2}+y^{2}\right) \ln \left(x^{2}+y^{2}\right)\)
p) \(\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} x \ln \left(x^{2}+4 y^{2}\right)\)
q) \(\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} x^{2} \ln \left(3 x^{2}+y^{2}\right) \arctan \left(\frac{1}{y^{2}-x^{2}}\right)\)
r) \(\lim _{(x, y) \rightarrow(1,1)} x^{2} \ln \left(3 x^{2}+y^{2}\right) \arctan \left(\frac{1}{y^{2}-x^{2}}\right)\)
s) \(\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x y^{2}+x^{3} \sqrt[5]{y^{6}}}{\sqrt{x^{4}+y^{8}}}\)
t) \(\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{2}}{x+y}\)
u) \(\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \operatorname{sen}\left(\frac{x^{2} y^{8}}{x^{4}+y^{8}}\right)\)
v) \(\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \arctan \left(\frac{x^{4}-2 y}{x^{4}+y^{3}}\right)\)
w) \(\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x y}{x^{2}+y^{2}} \operatorname{sen}\left(\frac{x^{2} y}{x^{2}+y^{4}}\right)\)
x) \(\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{e^{x}-e^{y}}{x-y}\)
2. Considere a função
\[f(x, y)=\left\{\begin{array}{l} \frac{x^{4}}{x^{4}+y^{2}} \operatorname{sen}\left(e^{-\frac{1}{x^{2}+y^{2}}}\right), \text { se }(x, y) \neq(0,0), \\\ L, \text { se }(x, y)=(0,0) . \end{array}\right.
Existe algum número real
L que torna
f contínua em
(0,0) ? Justifique.
3. Considere a função
f(x, y)= \begin{cases}\frac{e^{(x-1)\left(x^{2}+y^{2}\right)}-1}{x^{2}+y^{2}}, & \text { se }(x, y) \neq(0,0), \\\ L, & \text { se }(x, y)=(0,0) .\end{cases}
Existe algum número real
L\] que torna \[f contínua em
(0,0) ? Justifique.
Determine os pontos em que a função
f(x, y)= \begin{cases}\frac{\left(x^{2}-y^{2}\right)(x-1)^{2}}{\left(x^{2}+y^{2}\right)\left[(x-1)^{2}+(y-1)^{2}\right]}, & \text { se }(x, y) \neq(0,0) \text { e }(x, y) \neq(1,1), \\\\ 1, & \text { se }(x, y)=(0,0), \\\\ 0, & \text { se }(x, y)=(1,1),\end{cases}
é contínua.
5. Determine os pontos em que a função
f(x, y)= \begin{cases}\frac{x y(x-y)}{\left(x^{2}+y^{2}\right) \sqrt{(x-1)^{2}+(y-1)^{2}}}, & \text { se }(x, y) \neq(0,0) \text { e }(x, y) \neq(1,1) \\\\ 0, & \text { se }(x, y)=(0,0) \text { ou }(x, y)=(1,1)\end{cases}
é contínua.
6. Considere a função
f(x, y)=\frac{3(x-1)^{2}+(y-1)^{2}}{x^{2}-y^{2}}\].
(a) Determine e esboce, em um mesmo sistema de coordenadas, o domínio de \(f e as curvas de nível
c=1 e
c=3 de
f .
(b) O limite
\lim _{(x, y) \rightarrow(1,1)} f(x, y) existe? Justifique.
7. Considere a função
f(x, y)=\frac{x^{2}+y^{2}}{y-x} .
(a) Determine e esboce, em um mesmo sistema de coordenadas, o domínio de
f e as curvas de nível
c=2 e
c=-2 de
f .
(b) O limite
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} f(x, y) existe? Justifique.