Calcule, se existirem, os seguintes limites, justificando todas as passagens:
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{e^{x}-e^{y}}{x-y}

Passo 1

O enunciado pede o valor de
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{e^{x}-e^{y}}{x-y},
que é um limite de função de duas variáveis. Vamos usar o Teorema do Valor Médio de Cálculo Diferencial em uma variável para transformar essa diferença numa expressão mais fácil de analisar.

Passo 2

Considere a função de uma variável
f(t)=e^t,
que é continuamente diferenciável. Aplicando o Teorema do Valor Médio entre os pontos y e x (supondo x\neq y), existe um ponto \xi entre y e x tal que
\frac{f(x)-f(y)}{x-y}=f'(\xi).
Como f'(t)=e^t, obtemos
\frac{e^{x}-e^{y}}{x-y}=e^{\xi},
com \xi satisfazendo \min(x,y)\le \xi\le \max(x,y).

Passo 3

Quando (x,y)\to(0,0), temos x\to0 e y\to0. Então qualquer \xi entre x e y também tende a zero. Pela continuidade de e^t,
e^{\xi}\;\longrightarrow\;e^{0}=1.

Resposta

O limite existe e vale 1.

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