Existe algum número real L que torna f contínua em (0,0) ? Justifique.
3. Considere a função
f(x, y)= \begin{cases}\frac{e^{(x-1)\left(x^{2}+y^{2}\right)}-1}{x^{2}+y^{2}}, & \text { se }(x, y) \neq(0,0), \\\ L, & \text { se }(x, y)=(0,0) .\end{cases}
Existe algum número real L\] que torna \[f contínua em (0,0) ? Justifique.
Determine os pontos em que a função
f(x, y)= \begin{cases}\frac{\left(x^{2}-y^{2}\right)(x-1)^{2}}{\left(x^{2}+y^{2}\right)\left[(x-1)^{2}+(y-1)^{2}\right]}, & \text { se }(x, y) \neq(0,0) \text { e }(x, y) \neq(1,1), \\\\ 1, & \text { se }(x, y)=(0,0), \\\\ 0, & \text { se }(x, y)=(1,1),\end{cases}
é contínua.
5. Determine os pontos em que a função
f(x, y)= \begin{cases}\frac{x y(x-y)}{\left(x^{2}+y^{2}\right) \sqrt{(x-1)^{2}+(y-1)^{2}}}, & \text { se }(x, y) \neq(0,0) \text { e }(x, y) \neq(1,1) \\\\ 0, & \text { se }(x, y)=(0,0) \text { ou }(x, y)=(1,1)\end{cases}
é contínua.
6. Considere a função f(x, y)=\frac{3(x-1)^{2}+(y-1)^{2}}{x^{2}-y^{2}}\].
(a) Determine e esboce, em um mesmo sistema de coordenadas, o domínio de \(f e as curvas de nível c=1 e c=3 de f.
(b) O limite \lim _{(x, y) \rightarrow(1,1)} f(x, y) existe? Justifique.
7. Considere a função f(x, y)=\frac{x^{2}+y^{2}}{y-x}.
(a) Determine e esboce, em um mesmo sistema de coordenadas, o domínio de f e as curvas de nível c=2 e c=-2 de f.
(b) O limite \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} f(x, y) existe? Justifique.
Passo 1
O enunciado do item 1(a) pede
calcular
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{xy}{x^2+y^2}
ou mostrar que não existe.
O conteúdo aqui é limite de funções de duas variáveis, e vamos usar coordenadas polares para verificar se o valor do quociente depende do ângulo de aproximação.
Passo 2
Em coordenadas polares fazemos
x = r\cos\theta, \quad y = r\sin\theta, \quad r\ge0, \quad \theta\in[0,2\pi).