3. Funções de Duas Variáveis: Limite e Continuidade

  1. Calcule, se existirem, os seguintes limites, justificando todas as passagens:
a) \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x y}{x^{2}+y^{2}}\) b) \(\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{2} y \cos \left(x^{2}+y^{2}\right)}{x^{2}+y^{2}}\) c) \(\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{3}+y^{3}}{x^{2}+y^{2}}\) d) \(\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{2} y}{2 x^{4}+x^{2} y+y^{2}}\) e) \(\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{2 x^{2}+3 x y+4 y^{2}}{3 x^{2}+5 y^{2}}\) f) \(\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x y}{x^{3}-y}\) g) \(\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{\operatorname{sen}\left(x^{2}+y^{2}\right)}{x^{2}+y^{2}}\) h) \(\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{4} \operatorname{sen}\left(x^{2}+y^{2}\right)}{x^{4}+y^{2}}\) i) \(\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{(x+y)^{3}}{x^{2}+y^{2}}\) j) \(\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}} \operatorname{sen}\left(\frac{x y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\right)\) k) \(\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{3} y+y^{4}+x^{4}}{x^{3} y-x y^{3}}\) l) \(\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{3}+\operatorname{sen}\left(x^{2}+y^{2}\right)}{y^{4}+\operatorname{sen}\left(x^{2}+y^{2}\right)}\) m) \(\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{3} y^{4}+x^{5} \sqrt[3]{y^{4}}}{x^{6}+y^{8}}\) n) \(\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{3}\left(1-\cos \left(x^{2}+y^{2}\right)\right)}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{3}}\) o) \(\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)}\left(x^{2}+y^{2}\right) \ln \left(x^{2}+y^{2}\right)\) p) \(\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} x \ln \left(x^{2}+4 y^{2}\right)\) q) \(\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} x^{2} \ln \left(3 x^{2}+y^{2}\right) \arctan \left(\frac{1}{y^{2}-x^{2}}\right)\) r) \(\lim _{(x, y) \rightarrow(1,1)} x^{2} \ln \left(3 x^{2}+y^{2}\right) \arctan \left(\frac{1}{y^{2}-x^{2}}\right)\) s) \(\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x y^{2}+x^{3} \sqrt[5]{y^{6}}}{\sqrt{x^{4}+y^{8}}}\) t) \(\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{2}}{x+y}\) u) \(\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \operatorname{sen}\left(\frac{x^{2} y^{8}}{x^{4}+y^{8}}\right)\) v) \(\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \arctan \left(\frac{x^{4}-2 y}{x^{4}+y^{3}}\right)\) w) \(\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x y}{x^{2}+y^{2}} \operatorname{sen}\left(\frac{x^{2} y}{x^{2}+y^{4}}\right)\) x) \(\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{e^{x}-e^{y}}{x-y}\) 2. Considere a função \[f(x, y)=\left\{\begin{array}{l} \frac{x^{4}}{x^{4}+y^{2}} \operatorname{sen}\left(e^{-\frac{1}{x^{2}+y^{2}}}\right), \text { se }(x, y) \neq(0,0), \\\ L, \text { se }(x, y)=(0,0) . \end{array}\right.
Existe algum número real L que torna f contínua em (0,0) ? Justifique.
3. Considere a função
f(x, y)= \begin{cases}\frac{e^{(x-1)\left(x^{2}+y^{2}\right)}-1}{x^{2}+y^{2}}, & \text { se }(x, y) \neq(0,0), \\\ L, & \text { se }(x, y)=(0,0) .\end{cases}
Existe algum número real L\] que torna \[f contínua em (0,0) ? Justifique.
  1. Determine os pontos em que a função
f(x, y)= \begin{cases}\frac{\left(x^{2}-y^{2}\right)(x-1)^{2}}{\left(x^{2}+y^{2}\right)\left[(x-1)^{2}+(y-1)^{2}\right]}, & \text { se }(x, y) \neq(0,0) \text { e }(x, y) \neq(1,1), \\\\ 1, & \text { se }(x, y)=(0,0), \\\\ 0, & \text { se }(x, y)=(1,1),\end{cases}
é contínua.
5. Determine os pontos em que a função
f(x, y)= \begin{cases}\frac{x y(x-y)}{\left(x^{2}+y^{2}\right) \sqrt{(x-1)^{2}+(y-1)^{2}}}, & \text { se }(x, y) \neq(0,0) \text { e }(x, y) \neq(1,1) \\\\ 0, & \text { se }(x, y)=(0,0) \text { ou }(x, y)=(1,1)\end{cases}
é contínua.
6. Considere a função f(x, y)=\frac{3(x-1)^{2}+(y-1)^{2}}{x^{2}-y^{2}}\]. (a) Determine e esboce, em um mesmo sistema de coordenadas, o domínio de \(f e as curvas de nível c=1 e c=3 de f.
(b) O limite \lim _{(x, y) \rightarrow(1,1)} f(x, y) existe? Justifique.
7. Considere a função f(x, y)=\frac{x^{2}+y^{2}}{y-x}.
(a) Determine e esboce, em um mesmo sistema de coordenadas, o domínio de f e as curvas de nível c=2 e c=-2 de f.
(b) O limite \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} f(x, y) existe? Justifique.

Passo 1

O enunciado do item 1(a) pede
calcular
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{xy}{x^2+y^2}
ou mostrar que não existe.
O conteúdo aqui é limite de funções de duas variáveis, e vamos usar coordenadas polares para verificar se o valor do quociente depende do ângulo de aproximação.

Passo 2

Em coordenadas polares fazemos
x = r\cos\theta, \quad y = r\sin\theta, \quad r\ge0, \quad \theta\in[0,2\pi).
Então
\frac{xy}{x^2+y^2} = \frac{(r\cos\theta)(r\sin\theta)}{r^2\cos^2\theta + r^2\sin^2\theta} = \frac{r^2\cos\theta\sin\theta}{r^2(\cos^2\theta+\sin^2\theta)} = \cos\theta\;\sin\theta.

Passo 3

O valor \cos\theta\sin\theta não depende de r, só de \theta. Se o limite existisse ele teria de ser o mesmo para todo \theta. Mas, por exemplo,
  • para \theta=\tfrac{\pi}{4} temos \cos\theta\sin\theta=\tfrac12,
  • para \theta=0 temos \cos\theta\sin\theta=0.
Como dão valores diferentes, o limite não existe.

Resposta

O limite não existe.

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