Calcule as exponenciais:
e^{\frac{2+\pi i}{4}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a exponencial de um número complexo
e^{\frac{2+\pi i}{4}}.
O conteúdo principal é a propriedade
e^{a+b}=e^a\,e^b
e a fórmula de Euler
e^{i\theta}=\cos\theta + i\sin\theta.

Passo 2

Separe a parte real e a parte imaginária do expoente:
\frac{2+\pi i}{4} = \frac{2}{4} + i\frac{\pi}{4} = \frac12 + i\frac{\pi}{4}.
Logo,
e^{\frac{2+\pi i}{4}} = e^{\frac12 + i\frac{\pi}{4}} = e^{\frac12}\;e^{i\frac{\pi}{4}}.

Passo 3

Aplique a fórmula de Euler em e^{i\frac{\pi}{4}}:
e^{i\frac{\pi}{4}} =\cos\!\Bigl(\frac{\pi}{4}\Bigr)+i\sin\!\Bigl(\frac{\pi}{4}\Bigr) =\frac{\sqrt{2}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2}.

Passo 4

Multiplique e^{\frac12} pelo resultado:
e^{\frac12}\Bigl(\tfrac{\sqrt{2}}{2}+i\tfrac{\sqrt{2}}{2}\Bigr) =e^{\frac12}\frac{\sqrt{2}}{2}(1+i) =\frac{\sqrt{e}}{\sqrt{2}}\,(1+i).

Resposta

\frac{\sqrt{e}}{\sqrt{2}}\,(1+i).

Exercícios relacionados