Expressar \left|e^{(2 z+i)}+e^{i z^{2}}\right| em termos de x e y, logo mostre que:
\left|e^{(2 z+i)}+e^{i z^{2}}\right| \leq e^{2 x}+e^{-2 x y}

Passo 1

O enunciado pede para escrever \displaystyle \bigl|e^{(2z+i)}+e^{iz^2}\bigr|
em termos das partes reais x e imaginárias y de z=x+iy e então mostrar que
\bigl|e^{(2z+i)}+e^{iz^2}\bigr|\le e^{2x}+e^{-2xy}.
Vamos usar a forma z=x+iy, as propriedades da exponencial complexa e a desigualdade triangular \bigl|w_1+w_2\bigr|\le|w_1|+|w_2|.

Passo 2

Escrevendo z=x+iy, temos \displaystyle e^{2z+i}=e^{2(x+iy)+i}=e^{2x+i(2y+1)}.
Como \bigl|e^{u+iv}\bigr|=e^{u} para u,v\in\mathbb{R}, segue
\bigl|e^{2z+i}\bigr| =\bigl|e^{2x+i(2y+1)}\bigr| =e^{2x}.

Passo 3

Agora calculemos e^{iz^2}. Primeiro
iz^2 =i(x+iy)^2 =i\bigl(x^2-y^2+2i\,x y\bigr) =i(x^2-y^2)-2xy.
Logo \displaystyle e^{iz^2} =e^{-2xy}\,e^{i(x^2-y^2)}
e, aplicando de novo \bigl|e^{u+iv}\bigr|=e^u, obtemos
\bigl|e^{iz^2}\bigr| =\bigl|e^{-2xy+i(x^2-y^2)}\bigr| =e^{-2xy}.

Passo 4

Pela desigualdade triangular para complexos w_1=e^{2z+i} e w_2=e^{iz^2},
\bigl|e^{2z+i}+e^{iz^2}\bigr| \le\bigl|e^{2z+i}\bigr|+\bigl|e^{iz^2}\bigr| =e^{2x}+e^{-2xy}.

Resposta

\bigl|e^{(2z+i)}+e^{iz^2}\bigr|\le e^{2x}+e^{-2xy}.

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