Calcule a expressão dada sem usar uma calculadora:
\frac{5^{-3}\left(5^{2}\right)}{\left(5^{-2}\right)^{3}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular, sem calculadora, a expressão
\frac{5^{-3}\left(5^{2}\right)}{\left(5^{-2}\right)^{3}}.
Informações dadas: a expressão envolve potências de base 5 com expoentes inteiros negativos e positivos. A tarefa é simplificar essa expressão até um número inteiro.

Passo 2

Regra útil 1 — produto de potências de mesma base: para quaisquer números a (não nulo) e inteiros m,n vale
a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}.
Significado: quando multiplicamos potências com a mesma base, somamos os expoentes. Exemplo simples: 2^{3}\cdot 2^{2}=2^{3+2}=2^{5}.

Passo 3

Aplicando a Regra 1 ao numerador 5^{-3}\cdot 5^{2}:
5^{-3}\cdot 5^{2}=5^{-3+2}=5^{-1}.
Aqui fiz a soma dos expoentes -3+2=-1.

Passo 4

Regra útil 2 — potência de potência: para quaisquer a e inteiros m,n vale
\left(a^{m}\right)^{n}=a^{m\cdot n}.
Significado: quando elevamos uma potência a outra potência, multiplicamos os expoentes. Exemplo: \left(2^{3}\right)^{2}=2^{3\cdot2}=2^{6}.

Passo 5

Aplicando a Regra 2 ao denominador \left(5^{-2}\right)^{3}:
\left(5^{-2}\right)^{3}=5^{-2\cdot 3}=5^{-6}.
Aqui multipliquei os expoentes -2 e 3 para obter -6.

Passo 6

Regra útil 3 — divisão de potências de mesma base: para a\neq0 e inteiros m,n,
\frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}.
Significado: ao dividir potências com mesma base, subtrai-se o expoente do denominador do expoente do numerador. Exemplo: \dfrac{2^{5}}{2^{3}}=2^{5-3}=2^{2}.

Passo 7

Aplicando a Regra 3 à expressão já simplificada (numerador 5^{-1}, denominador 5^{-6}):
\frac{5^{-1}}{5^{-6}}=5^{-1-(-6)}=5^{5}.
No passo anterior fiz a subtração de expoentes: -1-(-6)=5.

Passo 8

Interpretação final: a expressão original foi reduzida a 5^{5}. Para avaliar sem calculadora pode-se usar desdobramentos: 5^{2}=25, 5^{3}=125, então 5^{5}=5^{2}\cdot5^{3}=25\cdot125 (a conta final pode ser feita à mão).

Resposta

3125

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