Calcule a expressão dada sem usar uma calculadora:
\frac{2^{5}\left(2^{2}\right)}{2^{8}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular sem calculadora a expressão \dfrac{2^{5}\left(2^{2}\right)}{2^{8}}.
Informações dadas:
  • Numerador: 2^{5}\left(2^{2}\right).
  • Denominador: 2^{8}.
  • A operação é multiplicação no numerador e divisão por 2^{8}.

Passo 2

Vamos lembrar e explicar as regras de potências que vamos usar (sem pressa, passo a passo):
  • Regra do produto de potências com mesma base: se as bases são iguais, multiplicar potências soma os expoentes:
a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}.
Aqui a é a base (qualquer número) e m,n são expoentes inteiros reais (ou inteiros positivos neste contexto).
  • Regra do quociente de potências com mesma base: dividir potências com mesma base subtrai os expoentes:
\frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}.
  • Significado de expoente negativo: a^{-k}=\dfrac{1}{a^{k}} para k>0.
Vou aplicar exatamente essas regras à expressão.

Passo 3

Primeiro simplificamos o numerador usando a regra do produto de potências com mesma base (as duas potências têm base 2):
2^{5}\cdot 2^{2}=2^{5+2}=2^{7}.

Passo 4

Agora aplicamos a regra do quociente de potências para dividir por 2^{8}:
\frac{2^{7}}{2^{8}}=2^{7-8}=2^{-1}.

Passo 5

Interpretando o expoente negativo:
2^{-1}=\frac{1}{2^{1}}=\frac{1}{2}.

Passo 6

Cheque rápido (opcional, para confiança): calcular numericamente as potências pequenas:
2^{5}=32,\quad 2^{2}=4,\quad \text{então }32\cdot4=128,ã
2^{8}=256,\quad \text{e } \frac{128}{256}=\frac{1}{2}.

Resposta

\dfrac{1}{2}

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